Forma półtoraliniowa

Forma półtoraliniowa (funkcjonał półtoraliniowy) – funkcja o dwóch argumentach z zespolonej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, która jest liniowa ze względu na jeden parametr i antyliniowa ze względu na drugi.

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Przekształcenie ${\displaystyle S\colon V\times V\to \mathbb {C} }$ nazywa się formą półtoraliniową albo funkcjonałem półtoraliniowym na ${\displaystyle V,}$ jeżeli jest:

• liniowe ze względu na pierwszą zmienną, tzn. addytywne i jednorodne względem pierwszego argumentu,

  ${\displaystyle S(\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=S(\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+S(\mathbf {y} ,\mathbf {z} )}$ oraz ${\displaystyle S(c\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=cS(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),}$

• antyliniowe ze względu na drugą ze zmiennych, tzn. addytywne i sprzężenie jednorodne względem drugiej współrzędnej,

  ${\displaystyle S(\mathbf {x} ,\mathbf {y} +\mathbf {z} )=S(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )+S(\mathbf {x} ,\mathbf {z} )}$ oraz ${\displaystyle S(\mathbf {x} ,c\mathbf {y} )={\overline {c}S(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

Przyjmuje się również definicje (szczególnie w fizyce), w których to pierwszy argument jest antyliniowy, a drugi liniowy; jeśli ${\displaystyle V}$ jest rzeczywistą przestrzenią liniową, to forma półtoraliniowa staje się formą dwuliniową.

• odwzorowanie antyliniowe