Funkcja Gudermanna
Wykres funkcji Gudermanna
Funkcja Gudermanna – funkcja specjalna nazwana od imienia niemieckiego matematyka, Christopha Gudermanna , zwana także amplitudą hiperboliczną lub gudermanianem , wyraża się wzorem:
gd
x
=
∫
0
x
d
t
cosh
t
=
2
arctg
(
tgh
x
2
)
=
2
arctg
e
x
−
π
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{gd }x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}\\&=2{\text{ arctg}\left({\text{tgh }{\frac {x}{2}\right)\\&=2{\text{ arctg }e^{x}-{\frac {\pi }{2}\end{aligned}
Najważniejsze własności
Jak widać, stosowane funkcji Gudermanna ukazuje naturalny pomost, jaki istnieje między funkcjami cyklometrycznymi a hiperbolicznymi , bez potrzeby odwoływania się do narzędzi analizy zespolonej .
Zauważmy, że:
tgh
x
2
=
tg
gd
x
2
{\displaystyle {\text{tgh }{\frac {x}{2}={\text{tg }{\frac {\text{gd }x}{2}
Prawdziwe są następujące tożsamości:
sinh
x
=
tg
(
gd
x
)
cosh
x
=
sec
(
gd
x
)
tgh
x
=
sin
(
gd
x
)
sech
x
=
cos
(
gd
x
)
csch
x
=
ctg
(
gd
x
)
ctgh
x
=
csc
(
gd
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sinh x&=&{\text{tg}\left({\text{gd }x\right)\\\cosh x&=&\sec \left({\text{gd }x\right)\\{\text{tgh }x&=&\sin \left({\text{gd }x\right)\\{\text{sech }x&=&\cos \left({\text{gd }x\right)\\{\text{csch }x&=&{\text{ctg}\left({\text{gd }x\right)\\{\text{ctgh }x&=&\csc \left({\text{gd }x\right)\end{array}
Istnieje sposób wyrażenia funkcji wykładniczej przy użyciu funkcji Gudermanna:
e
x
=
1
cos
(
gd
x
)
+
tg
(
gd
x
)
=
sec
(
gd
x
)
+
tg
(
gd
x
)
=
tg
(
π
4
+
gd
x
2
)
=
1
+
sin
(
gd
x
)
cos
(
gd
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&={\frac {1}{\cos \left({\text{gd }x\right)}+{\text{tg}\left({\text{gd }x\right)\\&=\sec \left({\text{gd }x\right)+{\text{tg}\left({\text{gd }x\right)\\&={\text{tg}\left({\frac {\pi }{4}+{\frac {\text{gd }x}{2}\right)\\&={\frac {1+\sin \left({\text{gd }x\right)}{\cos \left({\text{gd }x\right)}\end{aligned}
Pochodna funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:
d
d
x
gd
x
=
sech
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\,{\text{gd }x={\text{sech }x}
Funkcja odwrotna
Funkcja odwrotna do funkcji Gudermanna (oznaczamy ją
arcgd
x
{\displaystyle {\text{arcgd }x}
lub
gd
−
1
x
{\displaystyle {\text{gd}^{-1}x}
) wyraża się wzorem:
arcgd
x
=
gd
−
1
x
=
∫
0
x
d
t
cos
t
=
arcosh
(
sec
x
)
=
artgh
(
sin
x
)
=
ln
(
sec
x
(
1
+
sin
x
)
)
=
ln
(
tg
x
+
sec
x
)
=
ln
tg
(
π
4
+
x
2
)
=
1
2
ln
1
+
sin
x
1
−
sin
x
=
artgh
(
sin
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{arcgd }x&={\text{gd}^{-1}x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}\\&={\text{arcosh}\left(\sec x\right)={\text{artgh}\left(\sin x\right)\\&=\ln \left(\sec x\left(1+\sin x\right)\right)\\&=\ln \left({\text{tg }x+\sec x\right)=\ln {\text{tg}\left({\frac {\pi }{4}+{\frac {x}{2}\right)\\&={\frac {1}{2}\ln {\frac {1+\sin x}{1-\sin x}={\text{artgh}\left(\sin x\right)\end{aligned}
Ponadto prawdziwe jest równanie:
i
arcgd
x
=
arcgd
(
i
x
)
{\displaystyle i{\text{ arcgd }x={\text{arcgd}\left(ix\right)}
Pochodna funkcji odwrotnej do funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:
d
d
x
arcgd
x
=
sec
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\,{\text{arcgd }x=\sec x.}
Bibliografia
CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.
Linki zewnętrzne
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Gudermannian , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2024-04-13].
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd