Grupa nilpotentna
Grupa nilpotentna – grupa „prawie” abelowa . Grupy nilpotentne pojawiają się w teorii Galois , a także w zagadnieniach związanych z klasyfikacją grup, również grup Liego .
Definicja
Grupę
G
{\displaystyle G}
nazywamy nilpotentną , jeżeli istnieje ciąg podgrup normalnych
{
e
}
=
G
0
⩽
G
1
⩽
G
2
…
⩽
G
n
=
G
,
{\displaystyle \{e\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant G_{2}\ldots \leqslant G_{n}=G,}
że:
G
i
◃
G
,
i
=
0
,
…
,
n
{\displaystyle G_{i}\triangleleft G,\;i=0,\dots ,n}
grupy ilorazowe
G
i
+
1
/
G
i
{\displaystyle G_{i+1}/G_{i}
są podgrupami centrum
Z
(
G
/
G
i
)
{\displaystyle Z(G/G_{i})}
dla
i
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1.
{\displaystyle i=0,1,2,\dots ,n-1.}
Jeśli istnieje ciąg o tej własności to nazywamy go ciągiem centralnym grupy
G
.
{\displaystyle G.}
Najmniejsze
n
{\displaystyle n}
dla którego grupa
G
{\displaystyle G}
jest nilpotentna, nazywamy stopniem nilpotentności i oznaczamy
nil
G
.
{\displaystyle \operatorname {nil} \;G.}
Uwaga
Następujące warunki są równoważne:
Ciąg
{
e
}
=
G
0
⩽
G
1
⩽
G
2
…
⩽
G
n
=
G
{\displaystyle \{e\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant G_{2}\ldots \leqslant G_{n}=G}
jest centralny.
Ciąg
{
e
}
=
G
0
⩽
G
1
⩽
G
2
…
⩽
G
n
=
G
{\displaystyle \{e\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant G_{2}\ldots \leqslant G_{n}=G}
jest normalny oraz
[
G
i
+
1
,
G
]
⩽
G
i
,
i
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1.
{\displaystyle [G_{i+1},G]\leqslant G_{i},\;i=0,1,\dots ,n-1.}
[
G
i
+
1
,
G
]
⩽
G
i
,
i
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1.
{\displaystyle [G_{i+1},G]\leqslant G_{i},\;i=0,1,\dots ,n-1.}
Przykłady
Grupą nilpotentną jest na przykład:
dowolna grupa przemienna ,
grupa multiplikatywna macierzy postaci
[
1
a
b
0
1
c
0
0
1
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix},}
gdzie
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
są elementami pewnego ciała ,
grupa kwaternionów
Q
8
,
{\displaystyle Q_{8},}
ma centrum rzędu 2
(
Z
(
Q
8
)
=
{
1
,
−
1
}
)
;
{\displaystyle (Z(Q_{8})=\{1,-1\});}
ciąg centralny tej grupy to
{
1
}
,
{
1
,
−
1
}
,
Q
8
,
{\displaystyle \{1\},\;\{1,-1\},Q_{8},}
zatem jest to grupa nilpotentna drugiego stopnia nilpotentności,
każdy produkt prosty skończonej liczby p-grup ,
dyskretna grupa Heisenberga.
każda grupa
G
{\displaystyle G}
rzędu
p
k
,
{\displaystyle p^{k},}
gdzie
p
{\displaystyle p}
jest liczbą pierwszą jest nilpotentna oraz
nil
G
⩽
k
.
{\displaystyle \operatorname {nil} G\leqslant k.}
Własności
Każda grupa nilpotentna jest rozwiązalna .
Jeżeli komutant grupy
G
{\displaystyle G}
jest zawarty w jej centrum , to grupa jest nilpotentna.
grupy permutacji
S
n
{\displaystyle S_{n}
nie są nilpotentne dla
n
>
2.
{\displaystyle n>2.}
Każda podgrupa grupy nilpotentnej klasy
n
{\displaystyle n}
jest grupą nilpotentną klasy co najwyżej
n
,
{\displaystyle n,}
co więcej to samo dotyczy obrazu homomorficznego grupy nilpotentnej.
Następujące zdania są równoważne dla grup skończonych:
G
{\displaystyle G}
jest nilpotentna.
Jeżeli
H
{\displaystyle H}
jest właściwą podgrupą
G
,
{\displaystyle G,}
to
H
{\displaystyle H}
jest właściwą podgrupą normalną normalizatora
N
(
H
)
.
{\displaystyle N(H).}
Każda maksymalna podgrupa właściwa
G
{\displaystyle G}
jest normalna.
G jest sumą prostą swoich podgrup Sylowa .
Ostatnie stwierdzenie może być uogólnione na grupy nieskończone: jeżeli
G
{\displaystyle G}
jest nilpotentna, to każda podgrupa Sylowa
G
p
{\displaystyle G_{p}
grupy
G
{\displaystyle G}
jest normalna, a suma prosta tych podgrup Sylowa jest podgrupą wszystkich elementów skończonego rzędu w
G
{\displaystyle G}
(zob. podgrupa torsyjna ).
Jeśli grupa
G
/
Z
(
G
)
{\displaystyle G/Z(G)}
jest nilpotentna stopnia
n
,
{\displaystyle n,}
to
G
{\displaystyle G}
jest nilpotentna stopnia
n
+
1.
{\displaystyle n+1.}
Zobacz też
Bibliografia
Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup . Warszawa: Script, 2002. ISBN 83-904564-9-4 . (pol. ) . brak strony w książce
M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry , PWN, Warszawa 1978
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd