Ideał pierwszy (teoria mnogości)

Ideał pierwszy – pojęcie teorii mnogości i logiki matematycznej.

Niech ${\displaystyle {\mathcal {K}=\langle K,\sqcup ,\sqcap \rangle }$ będzie kratą.

Ideałem w kracie ${\displaystyle {\mathcal {K}$ jest dowolny właściwy podzbiór ${\displaystyle \Delta }$ zbioru ${\displaystyle K,}$ dla którego

${\displaystyle a\in \Delta \,,\,b\leqslant a\;\Rightarrow \;b\in \Delta ,}$

(1)

${\displaystyle a,b\in \Delta \;\Rightarrow \;a\sqcup b\in \Delta .}$

(2)

Ideał jest pierwszy, jeśli ponadto

${\displaystyle a\sqcap b\in \Delta \;\Rightarrow \;a\in \Delta \,\vee \,b\in \Delta .}$

(3)

Ideał jest maksymalny, jeśli nie jest podzbiorem właściwym innego ideału.

W kratach rozdzielnych ideałami pierwszymi są ideały maksymalne.

Pojęcie ideału w kracie jest dualne do pojęcia filtra. W algebrach Boole’a ${\displaystyle \Delta }$ jest ideałem wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \{\neg a:\,a\in \Delta \,\}$ jest filtrem.

• W kracie podzbiorów zbioru nieskończonego, rodzina zbiorów skończonych jest ideałem.
• W kracie podzbiorów zbioru nieskończonego, rodzina zbiorów niepełnej mocy jest ideałem.
• W kracie podzbiorów przestrzeni z miarą, rodzina zbiorów miary zero jest ideałem.

• logika matematyczna
• podstawy informatyki

• ideał pierwszy (teoria pierścieni)
• filtr pierwszy
• przestrzeń Stone’a