Indeks punktu względem krzywej

Nie mylić z: liczba obrotu homeomorfizmu okręgu w teorii układów dynamicznych.

Indeks punktu ${\displaystyle a}$ względem krzywej ${\displaystyle C}$ – liczba okrążeń punktu ${\displaystyle z}$ wokół punktu ${\displaystyle a,}$ gdy punkt ${\displaystyle z}$ obiega raz krzywą ${\displaystyle C.}$ Zwyczajowo każde okrążenie jest traktowane jako „dodatnie” bądź „ujemne” w zależności od tego, czy obieg odbywa się odpowiednio w kierunku przeciwnym lub zgodnym do ruchu wskazówek zegara.

Funkcja ${\displaystyle I(C,a)}$ dla krzywej zamkniętej ${\displaystyle C}$ nie przechodzącej przez punkt ${\displaystyle a,}$ jest zdefiniowana jako

${\displaystyle I(C,a)={\frac {1}{2\pi i}\oint \limits _{C}{\frac {dz}{z-a}$

nazywana jest indeksem punktu ${\displaystyle a}$ względem krzywej ${\displaystyle C.}$

Funkcja indeksu przyjmuje tylko wartości całkowite; rośnie bądź maleje odpowiednio, gdy parametryzacja krzywej jest na danym przedziale zgodna i niezgodna z orientacją płaszczyzny zespolonej (mówi się wtedy o dodatniej i ujemnej orientacji krzywej).

Indeks punktu ${\displaystyle 0}$ względem zorientowanego dodatnio okręgu ${\displaystyle K}$ o promieniu ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (K:z=re^{it},0\leqslant t\leqslant 2k\pi }$ dla ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} _{+})}$ wynosi:

${\displaystyle I(K,0)={\frac {1}{2\pi i}\oint \limits _{K}{\frac {dz}{z}={\frac {1}{2\pi i}\int \limits _{0}^{2k\pi }{\frac {ire^{it}dt}{re^{it}={\frac {1}{2\pi }\int \limits _{0}^{2k\pi }dt=k.}$

• wzór całkowy Cauchy’ego

• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. PWN, 1967. Brak numerów stron w książce