Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa – wspólna nazwa kilku algorytmów używanych w algebrze liniowej, wykorzystujących operacje elementarne na macierzach. Są to metody:

• obliczania rzędu macierzy;
• obliczania wartości wyznacznika;
• rozwiązywania układów równań liniowych^[1];
• obliczania macierzy odwrotnej;
• wyznaczenia rozkładu LU^[2].

Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.

Obliczając rząd macierzy metodą Gaussa, należy za pomocą operacji elementarnych na wierszach sprowadzić macierz do macierzy schodkowej. Wtedy wszystkie niezerowe wiersze są liniowo niezależne i można łatwo odczytać rząd macierzy.

Przykładowo: macierz ${\displaystyle A}$ poprzez dokonanie operacji elementarnych:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-1&2&2\\2&-2&1&0\\-1&2&1&-2\\2&-1&4&0\end{bmatrix}\sim }$

odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza,

${\displaystyle \sim {\begin{bmatrix}1&-1&2&2\\0&0&-3&-4\\0&1&3&0\\0&1&0&-4\end{bmatrix}\sim }$

zamiany 2. i 3. wiersza,

${\displaystyle \sim {\begin{bmatrix}1&-1&2&2\\0&1&3&0\\0&0&-3&-4\\0&1&0&-4\end{bmatrix}\sim }$

odjęcia wiersza 2. od wiersza 4.

${\displaystyle \sim {\begin{bmatrix}1&-1&2&2\\0&1&3&0\\0&0&-3&-4\\0&0&-3&-4\end{bmatrix}\sim }$

odjęcia 3. wiersza od 4. wiersza

${\displaystyle \sim {\begin{bmatrix}1&-1&2&2\\0&1&3&0\\0&0&-3&-4\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

sprowadzono do macierzy schodkowej. Rząd tej macierzy łatwo odczytać, bowiem jest on równy liczbie jej „schodków”, czyli liczbie wierszy pomniejszonej o liczbę wierszy zerowych. W tym przypadku rząd macierzy ${\displaystyle A}$ równy jest 3.

Rozwiązując układ ${\displaystyle m}$ równań liniowych z ${\displaystyle n}$ niewiadomymi, należy za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach (można zamieniać kolumny miejscami) sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to zbiór rozwiązań układu wyjściowego jest równy zbiorowi rozwiązań układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną.

Układ wyjściowy:

${\displaystyle \left\{\begin{matrix}x_{1}&-&x_{2}&+&2x_{3}&+&2x_{4}&=0\\2x_{1}&-&2x_{2}&+&x_{3}&&&=1\\-x_{1}&+&2x_{2}&+&x_{3}&-&2x_{4}&=1\\2x_{1}&-&x_{2}&+&4x_{3}&&&=2\end{matrix}\right.}$

Macierz rozszerzona tego układu:

${\displaystyle U=\left[\left.{\begin{matrix}1&-1&2&2\\2&-2&1&0\\-1&2&1&-2\\2&-1&4&0\end{matrix}\right|{\begin{matrix}0\\1\\1\\2\end{matrix}\right]}$

Sprowadzając do postaci schodkowej (za pomocą operacji kolejno: odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza, zamienienia 2. i 3. wiersza, odjęcia 2. wiersza od 4. wiersza, odjęciu 3. wiersza od 4. wiersza):

${\displaystyle U\sim \left[\left.{\begin{matrix}1&-1&2&2\\0&0&-3&-4\\0&1&3&0\\0&1&0&-4\end{matrix}\right|{\begin{matrix}0\\1\\1\\2\end{matrix}\right]\sim \left[\left.{\begin{matrix}1&-1&2&2\\0&1&3&0\\0&0&-3&-4\\0&1&0&-4\end{matrix}\right|{\begin{matrix}0\\1\\1\\2\end{matrix}\right]\sim \atop \sim \left[\left.{\begin{matrix}1&-1&2&2\\0&1&3&0\\0&0&-3&-4\\0&0&-3&-4\end{matrix}\right|{\begin{matrix}0\\1\\1\\1\end{matrix}\right]\sim \left[\left.{\begin{matrix}1&-1&2&2\\0&1&3&0\\0&0&-3&-4\\0&0&0&0\end{matrix}\right|{\begin{matrix}0\\1\\1\\0\end{matrix}\right]}$

Rząd macierzy głównej

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-1&2&2\\0&1&3&0\\0&0&-3&-4\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

jest równy 3, czyli równy rzędowi macierzy rozszerzonej

${\displaystyle \left[\left.{\begin{matrix}1&-1&2&2\\0&1&3&0\\0&0&-3&-4\\0&0&0&0\end{matrix}\right|{\begin{matrix}0\\1\\1\\0\end{matrix}\right]}$

oraz mniejszy od liczby szukanych niewiadomych.
Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru. Rozwiązujemy układ:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}-x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=0\\x_{2}+3x_{3}=1\\-3x_{3}-4x_{4}=1\end{cases}$

Przyjmując parametr ${\displaystyle t}$ za ${\displaystyle x_{4}$ i rozwiązując układ od dołu, uzyskujemy:

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{4}=t\end{matrix}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{3}=-{\frac {1}{3}\left(1+4x_{4}\right)=-{\frac {4}{3}t-{\frac {1}{3}\end{matrix}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{2}=1-3x_{3}=1+3\left({\frac {4}{3}t+{\frac {1}{3}\right)=4t+2\end{matrix}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}=x_{2}-2x_{3}-2x_{4}=4t+2-2\left(-{\frac {4}{3}t-{\frac {1}{3}\right)-2t={\frac {14}{3}t+{\frac {8}{3}\end{matrix}$

Zatem rozwiązaniem układu są czwórki:

${\displaystyle \left({\frac {14}{3}t+{\frac {8}{3},\ 4t+2,\ -{\frac {4}{3}t-{\frac {1}{3},\ t\right),}$

gdzie ${\displaystyle t}$ jest dowolnym elementem z ciała, w którym szuka się rozwiązania (na przykład, ${\displaystyle \mathbb {R} }$).

Aby obliczyć macierz odwrotną macierzy nieosobliwej o stopniu ${\displaystyle n}$ należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz blokową ${\displaystyle \left[\left.A\right|I\right]}$ do postaci ${\displaystyle \left[\left.I\right|B\right].}$ Powstała macierz ${\displaystyle B}$ jest szukaną macierzą odwrotną do macierzy ${\displaystyle A.}$ Symbolicznie można zapisać: ${\displaystyle \left[\left.A\right|I\right]\sim \left[\left.I\right|A^{-1}\right]}$

Wyjściowa macierz:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}7&4\\3&2\end{bmatrix}$

Jej wyznacznik jest równy 2, czyli macierz odwrotna istnieje. Macierz blokowa ${\displaystyle \left[\left.A\right|I\right]}$ ma postać:

${\displaystyle \left[\left.A\right|I\right]=\left[\left.{\begin{matrix}7&4\\3&2\end{matrix}\right|{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right]}$

Wykonując następujące operacje elementarne na wierszach:

(1) W₂ – 3/7·W₁   (od drugiego wiersza odjąć pomnożony przez 3/7 wiersz pierwszy),

(2) 1/7·W₁   (pierwszy wiersz pomnożyć przez 1/7),

(3) 7/2·W₂   (drugi wiersz pomnożyć przez 7/2),

(4) W₁ – 4/7·W₂   (od pierwszego wiersza odjąć pomnożony przez 4/7 wiersz drugi);

przedstawione poniżej:

${\displaystyle \sim \left[\left.{\begin{matrix}7&4\\3-{\frac {3}{7}\cdot 7&2-{\frac {3}{7}\cdot 4\end{matrix}\right|{\begin{matrix}1&0\\0-{\frac {3}{7}&1-{\frac {3}{7}\cdot 0\end{matrix}\right]=\left[\left.{\begin{matrix}7&4\\0&{\frac {2}{7}\end{matrix}\right|{\begin{matrix}1&0\\-{\frac {3}{7}&1\end{matrix}\right]\sim }$

${\displaystyle \sim \left[\left.{\begin{matrix}1&{\frac {4}{7}\\0&1\end{matrix}\right|{\begin{matrix}{\frac {1}{7}&0\\-{\frac {3}{2}&{\frac {7}{2}\end{matrix}\right]\sim }$   ← po operacjach (2) i (3)

${\displaystyle \sim \left[\left.{\begin{matrix}1-{\frac {4}{7}\cdot 0&{\frac {4}{7}-{\frac {4}{7}\cdot 1\\0&1\end{matrix}\right|{\begin{matrix}{\frac {1}{7}+{\frac {4}{7}\cdot {\frac {3}{2}&0-{\frac {4}{7}\cdot {\frac {7}{2}\\-{\frac {3}{2}&{\frac {7}{2}\end{matrix}\right]=\left[\left.{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right|{\begin{matrix}1&-2\\-{\frac {3}{2}&{\frac {7}{2}\end{matrix}\right]=\left[\left.I\right|A^{-1}\right]}$

lub w inny sposób (w 3. operacjach elementarnych):

(1) W₁ – 2·W₂   (od pierwszego wiersza odjąć pomnożony przez 2 wiersz drugi),

(2) W₂ – 3·W₁   (od drugiego wiersza odjąć pomnożony przez 3 wiersz pierwszy);

(3) 1/2·W₂   (wiersz drugi pomnożyć przez 1/2);

otrzymujemy macierz:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-2\\-{\frac {3}{2}&{\frac {7}{2}\end{bmatrix},}$

która jest macierzą odwrotną do macierzy wyjściowej.

• ZenonZ. Fortuna ZenonZ., BohdanB. Macukow BohdanB., JanuszJ. Wąsowski JanuszJ., Metody numeryczne, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1993, ISBN 83-204-1551-9 .

• Michał Góra, Metoda eliminacji Gaussa, Open AGH, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 9 lipca 2022 [dostęp 2023-12-22].
• Paweł Lubowiecki, Układy równań algebraicznych cz. IV. Metoda eliminacji Gaussa, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].