Równanie sześcienne

Równanie sześcienne lub trzeciego stopnia – równanie algebraiczne postaci ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$ gdzie ${\displaystyle a\neq 0.}$ Jeżeli współczynniki ${\displaystyle a,b,c,d}$ równania są liczbami rzeczywistymi, to równanie ma trzy pierwiastki, w tym co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Jeżeli współczynniki te są liczbami zespolonymi, to równanie to ma trzy pierwiastki – na ogół są zespolone.

Rys historyczny

Równania sześcienne zostały rozwiązane w pierwszej połowie XVI wieku. W tamtym czasie w Europie nie używano jeszcze liczb ujemnych i każde równanie zapisywano tak aby wszystkie współczynniki były dodatnie. Rozważano więc szereg różnych typów równań trzeciego stopnia. Matematycy wiedzieli jednak, że rozwiązanie ogólnego równania trzeciego stopnia może być zredukowane do rozwiązania równania:

${\displaystyle x^{3}=n\pm mx\quad {}$ gdzie ${\displaystyle {}\ m,n>0.}$

Włoski matematyk Scipione del Ferro podał metodę rozwiązania jednego z tych typów, a prawdopodobnie też i drugiego. Nie rozgłaszał on swoich odkryć i przekazał on swoją metodę jedynie paru osobom, np. jego student Fior wiedział, jak rozwiązać równanie pierwszego typu. Del Ferro zapisywał wszystkie swoje odkrycia w notatniku, który po jego śmierci przeszedł w posiadanie Hannibala Navego, zięcia del Ferro. (Nave był również matematykiem i po śmierci teścia w 1526 r. przejął jego posadę na Uniwersytecie Bolońskim).

Niezależnie (ale i później) równania te były rozwiązane przez Niccolò Tartaglię. Potrafił on rozwiązać niektóre typy równań, kiedy w 1535 zaaranżowano mecz matematyczny pomiędzy Fiorem a Tartaglią. W czasie tej debaty każda ze stron podała drugiej 30 równań do rozwiązania. Podczas gdy zadania przygotowane przez Tartaglię były bardzo różnorodne, te podane przez Fiora dotyczyły tylko jedynego typu równań, które Fior potrafił rozwiązać. Rankiem 13 lutego 1535 Tartaglia odkrył sposób na rozwiązywanie tego typu równań i mecz wygrał. Swojej metody rozwiązywania równań Tartaglia nie chciał jednak ogłosić.

Girolamo Cardano uprosił Tartaglię w 1539 r. o wyjawienie metody rozwiązywania równań sześciennych, w zamian zobowiązując się do dochowania tajemnicy i nieujawniania metody. W 1540 r., Lodovico Ferrari, asystent Cardana, odkrył metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4, jednak odkrycie to nie mogło zostać opublikowane ze względu na obietnicę daną Tartaglii.

W 1543 r. Cardano i Ferrari odwiedzili Navego, zięcia del Ferro, w Bolonii i dowiedzieli się od niego, że to del Ferro był pierwszym matematykiem, który rozwiązał równania trzeciego stopnia. Cardano uznał, że obietnica dana Tartaglii nie obowiązuje go więcej i opublikował metodę rozwiązywania równań 3. i 4. stopnia w swoim dziele Ars Magna w 1545.

Równania sześcienne znalazły zastosowanie m.in. w fizyce i chemii, np. w termodynamice. Równanie van der Waalsa jest równaniem sześciennym ze względu na objętość opisywanego gazu.

Pierwiastki równania sześciennego

Sprowadzenie do postaci kanonicznej

Aby wyznaczyć pierwiastki równania sześciennego

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

(1)

równanie to sprowadza się do tak zwanej postaci kanonicznej

${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$

(2)

gdzie

${\displaystyle p={\frac {c}{a}-{\frac {b^{2}{3a^{2}$

${\displaystyle q={\frac {2b^{3}{27a^{3}+{\frac {d}{a}-{\frac {bc}{3a^{2}$

Postać kanoniczną uzyskuje się stosując do równania wyjściowego podstawienie:

${\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}$

Po znalezieniu rozwiązań równania kanonicznego (2) rozwiązania pierwotnego równania (1) znajduje się z ostatniego wzoru zamieszczonego powyżej.

Rozwiązania równania kanonicznego

Aby wyznaczyć pierwistki równania kanonicznego (2), oblicza się tzw. wyróżnik

${\displaystyle \Delta =\left({\frac {p}{3}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}\right)^{2}.}$

Zależnie od znaku wyróżnika są 3 możliwe przypadki.

Przypadek 1   ${\displaystyle \Delta >0{:}$

Oblicza się

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}-{\sqrt {\Delta }$

${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}+{\sqrt {\Delta }$

Równanie (2) ma pierwiastek rzeczywisty

${\displaystyle y_{1}=u+v}$

oraz dwa pierwiastki zespolone, wzajemnie sprzężone

${\displaystyle y_{2}=-{\frac {1}{2}(u+v)+i{\frac {\sqrt {3}{2}(u-v)}$

${\displaystyle y_{3}=-{\frac {1}{2}(u+v)-i{\frac {\sqrt {3}{2}(u-v)}$

Przypadek 2 ${\displaystyle \Delta =0{:}$

2.1 Gdy ${\displaystyle q\neq 0}$, to równanie (2) ma pierwiastek rzeczywisty podwójny i pierwiastek rzeczywisty pojedynczy:

${\displaystyle y_{1}=y_{2}={\sqrt[{3}]{\frac {q}{2}$

${\displaystyle y_{3}=-2\ {\sqrt[{3}]{\frac {q}{2}$

2.2 Gdy ${\displaystyle q=0}$, to równanie (2) ma jeden pierwiastek rzeczywisty potrójny:

${\displaystyle y_{1}=y_{2}=y_{3}=0}$ 

Przypadek 3   ${\displaystyle \Delta <0{:}$

Równanie (2) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste:

${\displaystyle y_{1}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}\cos {\frac {\varphi }{3},}$

${\displaystyle y_{2}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}\cos {\frac {\varphi +2\pi }{3},}$

${\displaystyle y_{3}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}\cos {\frac {\varphi +4\pi }{3},}$

gdzie:

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {-{\frac {q}{2}{\sqrt {-{\frac {p^{3}{27}\right)}$

Kod programu

Poniżej podano przykład kodu w języku Python, znajdujący pierwiastki równania sześciennego wg wzorów wyżej podanych. Program można testować, korzystając np. z darmowego notatnika colab google online.

W programie obliczane są pierwiastki dla 4 zestawów danych (tj. dane są współczynniki a,b, c, d równania sześciennego) i rysowane są wykresy funkcji sześciennych.

import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt, cmath

# ----------------------------------------------------------------------------#
#    GłóWNA FUNKCJA, OBLICZAJĄCA PIERWIASTKI RÓWNANIA SZEŚCIENNEGO            #
# ----------------------------------------------------------------------------#

def solve_cubic(a, b, c, d):
    b, c, d = b / a, c / a, d / a
    p = c - b**2 / 3
    q = 2 * b**3 / 27 - b * c / 3 + d
    D = (q / 2)**2 + (p / 3)**3
    if D > 0:
        u = (-q / 2 + cmath.sqrt(D))**(1/3)
        v = (-q / 2 - cmath.sqrt(D))**(1/3)
        y1 = u + v
        y2 = -(u + v) / 2 + (u - v) * cmath.sqrt(3) / 2 * 1j
        y3 = -(u + v) / 2 - (u - v) * cmath.sqrt(3) / 2 * 1j
        roots = [y1 - b / 3, y2 - b / 3, y3 - b / 3]
    elif D == 0:
        u = (-q / 2)**(1/3)
        roots = [2*u - b / 3, -u - b / 3, -u - b / 3]
    else:
        r = cmath.sqrt(-(p / 3)**3)
        theta = cmath.acos(-q / (2 * r))
        r = r**(1/3)
        y1 = 2 * r * cmath.cos(theta / 3)
        y2 = 2 * r * cmath.cos((theta + 2 * cmath.pi) / 3)
        y3 = 2 * r * cmath.cos((theta + 4 * cmath.pi) / 3)
        roots = [y1 - b / 3, y2 - b / 3, y3 - b / 3]
    return roots, D

# ----------------------------------------------------------------------------#
# Zestaw współczynników a, b, c, d równań sześciennych - różne przypadki;
#        można dopisać własne współczynniki równania
# ----------------------------------------------------------------------------#

coefficients_list = [
  (1, -6, 11, -6), # D < 0: f(x)=x³-6x²+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3) - trzy pierwiastki pojedyncze
  (1, -4,  5, -2), # D = 0: f(x)=x³-4x²+5x-2 =(x-1)²(x-2)- pierwiastki podwójny i pojedynczy
  (1, -3,  3, -1), # D = 0: f(x)=x³-3x²+3x-1 =(x-1)³ - pierwiastek potrójny
  (1,  0,  0, -1), # D > 0: f(x)=x³-1 =(x-1)(x²+x+1) - pierwiastek pojedynczy i dwa zespolone
]

# Funkcja do określenia znaku
def znak(w):
    return "+" if w > 0 else "-"

# Przechodzimy przez każdy zestaw współczynników
for coeffs in coefficients_list:
    a, b, c, d = coeffs
    roots, D = solve_cubic(a, b, c, d)
   
    # Rysujemy wykres funkcji
    x = np.linspace(-1, 4, 800)
    y = a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
    plt.plot(x, y, 'b-')
    
    # Rysujemy rzeczywiste pierwiastki
    real_roots = sorted([root.real for root in roots if abs(root.imag) < 1e-5])
    plt.plot(real_roots, [a*r**3 + b*r**2 + c*r + d for r in real_roots], 'ro')

    # Dodajemy etykiety do pierwiastków
    for root in real_roots:
        plt.text(root, a*root**3 + b*root**2 + c*root + d + 0.5, f'{root:.5f}', verticalalignment='bottom', horizontalalignment='center')

    plt.axhline(0, color='gray', linestyle='-')
    plt.axvline(0, color='gray', linestyle='-')
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('f(x)')
    plt.title(f'Wykres funkcji f(x)={a}x³ {znak(b)} {abs(b)}x² {znak(c)} {abs(c)}x {znak(d)} {abs(d)}', pad=20)
    plt.show()

    # Wypisujemy wartości pierwiastków
    print("Delta =", D)
   
    formatted_roots = [f"{root.real:.5f} {znak(root.imag)}{abs(root.imag):.5f}*j" if abs(root.imag) > 1e-5 else f"{root.real:.5f}" for root in roots]

    # Usuwamy nawiasy i apostrofy z wydruku
    print("Pierwiastki:", ", ".join(formatted_roots))
    print(" ")
    print("--------------------------------------------------------------------------")

Uzasadnienie wzorów prowadzących do postaci kanonicznej

Dzieląc obie strony równania (1) przez ${\displaystyle a,}$ otrzymuje się

${\displaystyle x^{3}+{\frac {b}{a}x^{2}+{\frac {c}{a}x+{\frac {d}{a}=0.}$

Stosując podstawienie ${\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a},}$ otrzymuje się

${\displaystyle \left(y-{\frac {b}{3a}\right)^{3}+{\frac {b}{a}\left(y-{\frac {b}{3a}\right)^{2}+{\frac {c}{a}\left(y-{\frac {b}{3a}\right)+{\frac {d}{a}=0.}$

Po wymnożeniu, uproszczeniu i poszeregowaniu według potęg otrzymuje się

${\displaystyle y^{3}-y^{2}{\frac {b}{a}+y^{2}{\frac {b}{a}+y{\frac {b^{2}{3a^{2}-y{\frac {2b^{2}{3a^{2}+y{\frac {c}{a}-{\frac {b^{3}{27a^{3}+{\frac {b^{3}{9a^{3}-{\frac {bc}{3a^{2}+{\frac {d}{a}=0.}$

Wyraz z kwadratem znika i otrzymuje się:

${\displaystyle y^{3}+y\left({\frac {c}{a}-{\frac {b^{2}{3a^{2}\right)+{\frac {2b^{3}{27a^{3}+{\frac {d}{a}-{\frac {bc}{3a^{2}=0.}$

Stosując podstawienia:

${\displaystyle p={\frac {c}{a}-{\frac {b^{2}{3a^{2},}$

${\displaystyle q={\frac {2b^{3}{27a^{3}+{\frac {d}{a}-{\frac {bc}{3a^{2}.}$

otrzymuje się równanie w postaci kanonicznej (2).

Sprowadzenie do postaci kanonicznej łatwo wykonywać, stosując schemat Hornera. Ponieważ ${\displaystyle y=x+{\frac {b}{3a}$, więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z ${\displaystyle y}$ to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu ${\displaystyle x+{\frac {b}{3a}.}$

Uzasadnienie wzorów na rozwiązania równania kanonicznego

Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek ${\displaystyle y_{0}$ równania

${\displaystyle y^{3}+py+q=0,}$

(2)

to na mocy tzw. twierdzenia Bézouta można podzielić wielomian ${\displaystyle y^{3}+py+q}$ przez ${\displaystyle y-y_{0},}$ redukując równanie sześcienne do równania kwadratowego. Rozwiązując równanie kwadratowe można znaleźć pozostałe rozwiązania równania (2).

Poniżej przedstawiono metodę znajdowania jednego pierwiastka równania sześciennego, a dalej bardziej szczegółowo opisano sposób na znajdowanie wszystkich rozwiązań tego równania.

Jak znaleźć jeden pierwiastek

Rozważamy równanie kanoniczne

${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$

(2)

(a) Jeśli ${\displaystyle p=0}$ (a jest tak, gdy ${\displaystyle c={\frac {b^{2}{3a}$), to mamy natychmiast rozwiązanie:

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-q}\ .}$

(b) Jeżeli ${\displaystyle p\neq 0,}$ to wprowadzamy dwie zmienne pomocnicze takie że: ${\displaystyle y=u+v.}$ Wówczas

${\displaystyle y^{3}=v^{3}+3uv^{2}+3u^{2}v+u^{3}=3uv(u+v)+u^{3}+v^{3}=3uvy+u^{3}+v^{3}.}$

(3)

Po uporządkowaniu z (3) otrzymujemy

${\displaystyle y^{3}-3uvy-(u^{3}+v^{3})=0.}$

(4)

Zauważamy, że jeśli

${\displaystyle 3uv=-p\;{}$ oraz ${\displaystyle {}\;u^{3}+v^{3}=-q}$

(5)

(a ${\displaystyle y=u+v}$), to ${\displaystyle y}$ spełnia równanie (4) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia on równanie (2). Rozwiązując układ równań (5), otrzymujemy:

${\displaystyle u={\frac {-p}{3v}$

oraz

${\displaystyle \left({\frac {-p}{3v}\right)^{3}+v^{3}+q=0.}$

Stąd

${\displaystyle v^{3}-{\frac {p^{3}{27v^{3}+q=0.}$

Po pomnożeniu przez ${\displaystyle v^{3}$ otrzymujemy

${\displaystyle (v^{3})^{2}+q(v^{3})-{\frac {p^{3}{27}=0.}$

Podstawiając za ${\displaystyle v^{3}$ zmienną pomocniczą ${\displaystyle z,}$ otrzymujemy równanie kwadratowe:

${\displaystyle z^{2}+qz-{\frac {p^{3}{27}=0.}$

(6)

Równanie (6) ma pierwiastek (możliwe że zespolony):

${\displaystyle z_{0}={\frac {-q+{\sqrt {q^{2}+4p^{3}/27}{2}.}$

Następnie wybieramy liczbę ${\displaystyle v_{0}$ taką, że ${\displaystyle (v_{0})^{3}=z_{0}.}$ Kładziemy ${\displaystyle u_{0}={\frac {-p}{3v_{0}$  i zauważamy, że ${\displaystyle v_{0},u_{0}$ spełniają równania (5). Jeśli więc położymy

${\displaystyle y_{0}=v_{0}+u_{0},}$

to liczby ${\displaystyle y_{0},v_{0},u_{0}$ będą spełniać równanie (4), czyli ${\displaystyle y_{0}$ jest pierwiastkiem równania (2).

Wzory Cardana

Wyprowadzone zostaną tu wzory na pozostałe dwa pierwiastki równania (2). Niech ${\displaystyle \varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}$ będą pierwiastkami 3. stopnia z jedynki, tzn.

${\displaystyle \varepsilon _{0}=1,}$   ${\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {-1+i{\sqrt {3}{2},}$  ${\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {-1-i{\sqrt {3}{2}.}$

Tak jak wcześniej, niech ${\displaystyle z_{0}$ będzie pierwiastkiem równania (6):

${\displaystyle z_{0}={\frac {-q+{\sqrt {q^{2}+4p^{3}/27}{2}.}$

Ustalmy liczby ${\displaystyle v_{0},u_{*}$ takie, że

${\displaystyle (v_{0})^{3}=z_{0}$   oraz  ${\displaystyle (u_{*})^{3}=-q-z_{0}={\frac {-q-{\sqrt {q^{2}+4p^{3}/27}{2}$ (zob. drugą równość z (5)).

Zauważmy, że

${\displaystyle {\begin{aligned}&(v_{0})^{3}\cdot (u_{*})^{3}\\={}&{\frac {-q+{\sqrt {q^{2}+4p^{3}/27}{2}\cdot {\frac {-q-{\sqrt {q^{2}+4p^{3}/27}{2}\\={}&{\frac {q^{2}-q^{2}-4p^{3}/27}{4}\\={}&{\frac {-p^{3}{27}.\end{aligned}$

Zatem dla pewnego ${\displaystyle m\in \{0,1,2\}$ mamy, że

${\displaystyle v_{0}\cdot u_{*}=-\varepsilon _{m}p/3.}$

Niech ${\displaystyle n\in \{0,1,2\}$ będzie takie, że ${\displaystyle \varepsilon _{n}\cdot \varepsilon _{m}=1}$ i połóżmy

${\displaystyle u_{0}=\varepsilon _{n}u_{*}.}$

Wówczas liczby ${\displaystyle v_{0},u_{0}$ spełniają równania (5). Niech

${\displaystyle y_{0}=v_{0}+u_{0},}$   ${\displaystyle y_{1}=\varepsilon _{1}\cdot v_{0}+\varepsilon _{1}^{2}\cdot u_{0}$  oraz   ${\displaystyle y_{2}=\varepsilon _{1}^{2}\cdot v_{0}+\varepsilon _{1}\cdot u_{0}.}$

Uzasadnienie: gdy weźmiemy ${\displaystyle \varepsilon }$ z indeksem 1, to pomnożenie dodaje 1/3 pełnego kąta, pomnożenie przez kwadrat dodaje 2/3 pełnego kąta. Równie dobrze moglibyśmy brać ${\displaystyle \varepsilon _{2}$ dodając 2/3 pełnego kąta i dla kwadratu 4/3 = 1/3 pełnego kąta, natomiast nie można brać ${\displaystyle \varepsilon _{0}$ = 1.

(Powyższe wzory, po wykonaniu w nich podstawień stosownych formuł na ${\displaystyle \varepsilon _{1},v_{0},u_{0},}$ nazywane są wzorami Cardana^[1]. Są one współczesnym uogólnieniem metody opisanej przez Girolama Cardana w Ars Magna.)

Wykażemy, że liczby ${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2}$ są wszystkimi rozwiązaniami równania (2).

Zauważmy najpierw, że ${\displaystyle \varepsilon _{1}(1+\varepsilon _{1})=-1,}$ więc

${\displaystyle 0=0(v_{0}+u_{0})=(1+\varepsilon _{1}(1+\varepsilon _{1}))(v_{0}+u_{0})=(1+\varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}^{2})(v_{0}+u_{0})=y_{0}+y_{1}+y_{2}.}$

(7)

Mamy też

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{0}y_{1}+y_{0}y_{2}+y_{1}y_{2}\\={}&(v_{0}+u_{0})(\varepsilon _{1}\cdot v_{0}+\varepsilon _{1}^{2}\cdot u_{0})+(v_{0}+u_{0})(\varepsilon _{1}^{2}\cdot v_{0}+\varepsilon _{1}\cdot u_{0})+(\varepsilon _{1}\cdot v_{0}+\varepsilon _{1}^{2}\cdot u_{0})(\varepsilon _{1}^{2}\cdot v_{0}+\varepsilon _{1}\cdot u_{0})\\={}&(1+\varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}^{2})(v_{0}^{2}+u_{0}^{2})+3(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}^{2})v_{0}u_{0}\\={}&3(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}^{2})v_{0}u_{0}\\={}&3(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}^{2})\cdot {\frac {-p}{3}\\={}&p\end{aligned}$

(8)

(przypomnijmy, że ${\displaystyle 0=1+\varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}^{2}$ oraz ${\displaystyle 3v_{0}u_{0}=-p;}$ patrz (5)). Także

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{0}y_{1}y_{2}\\={}&(v_{0}+u_{0})(\varepsilon _{1}\cdot v_{0}+\varepsilon _{1}^{2}\cdot u_{0})(\varepsilon _{1}^{2}\cdot v_{0}+\varepsilon _{1}\cdot u_{0})\\={}&v_{0}^{3}+u_{0}^{3}+(1+\varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}^{2})v_{0}^{2}u_{0}+(1+\varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}^{2})v_{0}u_{0}^{2}\\={}&v_{0}^{3}+u_{0}^{3}\\={}&-q\end{aligned}$

(9)

(tu również korzystamy z równań (5)). Używając równań (7)-(9), otrzymujemy

${\displaystyle {\begin{aligned}&(y-y_{0})(y-y_{1})(y-y_{2})\\={}&y^{3}-(y_{0}+y_{1}+y_{2})y^{2}+(y_{0}y_{1}+y_{0}y_{2}+y_{1}y_{2})y-y_{0}y_{1}y_{2}\\={}&y^{3}+py+q.\end{aligned}$

Stąd możemy wywnioskować, że ${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2}$ są wszystkimi pierwiastkami równania (2).

Powyższe wzory są słuszne także dla równań o współczynnikach zespolonych.

Przykłady obliczania pierwiastków

1. Równanie o współczynnikach rzeczywistych

Dane jest równanie:

${\displaystyle x^{3}+5x^{2}+4x=0}$

Aby znaleźć pierwiastki, przechodzimy do formy ${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$ obliczając

${\displaystyle p}$ = –4,3333, q=2,592592,

${\displaystyle z_{0}$ = –1,2962 + 1,1547*i ma 3 pierwiastki: 0,8333+0,866*i, –1,16666+0,2886i, 0,3333-1,1547i,

${\displaystyle v_{0}$ niech będzie pierwszym pierwiastkiem.

${\displaystyle -q-z_{0}$ ma trzy pierwiastki: 0,8333–0,8660i, 0,3333+1,1547, –1,166666–0,28867i,

(w tym przypadku pierwiastki są sprzężone, co pozwoli na eliminację części urojonej)

${\displaystyle u_{*}$ niech będzie ostatnim pierwiastkiem

${\displaystyle -3{\frac {v_{0}*u_{*}{p}$ = –0,5 –0,866i = ${\displaystyle \varepsilon _{2},}$ stąd m=2, więc n=1

${\displaystyle u_{0}$ = 0,8333, –0,8666

${\displaystyle y_{0}=1{,}6666,}$ ${\displaystyle y_{1}=-2{,}3333,}$ ${\displaystyle y_{2}=0{,}666.}$

I ostatecznie ze wzoru ${\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}$ otrzymuje się pierwiastki:

${\displaystyle x_{0}=0,\ x_{1}=-4,\ x_{2}=-1.}$

2. Równanie o współczynnikach zespolonych

Dane jest równanie:

${\displaystyle (2+3i)x^{3}+(1-2i)x^{2}+(-1+4i)x+(5+6i)=0.}$

Obliczamy:

p = 0,83431 + 0,7357·i, q = 2,09853 – 0,00568·i.

We wzorze na ${\displaystyle z_{0}$ występuje pierwiastek dający dwa rozwiązania, bierzemy jedno ${\displaystyle z_{0}$ = –0,01360 + 0,02031·i.

${\displaystyle z_{0}$ ma 3 pierwiastki:

0,218141 + 0,191450·i, –0,27487 + 0,0931·i, 0,05673 – 0,284641·i.

Wybieramy dla ${\displaystyle v_{0}$ pierwszy pierwiastek = 0,218141 + 0,191450·i.

${\displaystyle -q-z_{0}$ = –2,08492 –0,014632·i, ma trzy pierwiastki:

0,641345 – 1,1048·i, 0,636169 + 1,107854·i, –1,277515 – 0,0029885·i.

Wybieramy dla ${\displaystyle u_{*}$ na przykład ostatni pierwiastek = –1,277515 – 0,0029885·i.

${\displaystyle v_{0}\cdot u_{*}$ = –0,278106 – 0,245233·i jako m wybieramy 0 bo ${\displaystyle \varepsilon _{0}$ = 1 jest odpowiednim.

A więc również ${\displaystyle n=1}$ bo ${\displaystyle 1\cdot 1=1;}$

${\displaystyle y_{0}$ = –1,05937 + 0,188462·i,	${\displaystyle y_{1}$ = 0,3612975 + 1,201045·i,	${\displaystyle y_{2}$ = 0,6980765 –1,389507·i
${\displaystyle x_{0}$ = –0,95681 + 0,3679495,	${\displaystyle x_{1}$ = 0,463861 + 1,3805324,	${\displaystyle x_{2}$ = 0,800640 –1,210020.

Wynik można sprawdzić na stronie WolframAlpha.

Podsumowanie

Aby rozwiązać równanie

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

(1)

o współczynnikach zespolonych, sprowadzamy je do postaci kanonicznej

${\displaystyle y^{3}+py+q=0,}$

(2)

gdzie ${\displaystyle p={\frac {c}{a}-{\frac {b^{2}{3a^{2},\ q={\frac {2b^{3}{27a^{3}+{\frac {d}{a}-{\frac {bc}{3a^{2},\ y=x+{\frac {b}{3a}.}$

Następnie znajdujemy parę liczb ${\displaystyle v_{0},u_{0},}$ spełniających równania

${\displaystyle 3u_{0}v_{0}=-p}$   oraz   ${\displaystyle u_{0}^{3}+v_{0}^{3}=-q.}$

(Wymaga to rozwiązania równania kwadratowego i wyznaczenia pierwiastków trzeciego stopnia). Rozwiązaniami równania (1) są liczby

${\displaystyle x_{0}=v_{0}+u_{0}-{\frac {b}{3a},}$

${\displaystyle x_{1}=v_{0}{\frac {-1+i{\sqrt {3}{2}-u_{0}{\frac {1+i{\sqrt {3}{2}-{\frac {b}{3a},}$

${\displaystyle x_{2}=-v_{0}{\frac {1+i{\sqrt {3}{2}+u_{0}{\frac {-1+i{\sqrt {3}{2}-{\frac {b}{3a}.}$

Inne metody rozwiązywania równania kanonicznego

Ważony para-cosinus

Dla równania kanonicznego

${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$

korzystamy ze wzorów Viète’a i otrzymujemy:

${\displaystyle y_{1}+y_{2}+y_{3}=0,}$

${\displaystyle y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+y_{2}y_{3}=p,}$

${\displaystyle y_{1}y_{2}y_{3}=-q.}$

Ten nieliniowy układ z trzema niewiadomymi ze względu na wysoką symetrię jest jednym z niewielu, które dają się rozwiązać analitycznie. Ze względu na prostotę pierwszego równania wystarczy zająć się jedynie dwoma następnymi po wyrugowaniu zmiennej ${\displaystyle y_{1}.}$

${\displaystyle -(y_{2}+y_{3})^{2}+y_{2}y_{3}=p,}$

${\displaystyle -(y_{2}+y_{3})y_{2}y_{3}=-q.}$

Zastosujemy teraz podstawienie para-trygonometryczne (ważony para-cosinus):

${\displaystyle y_{2}=e^{-i\pi /3}{\sqrt[{3}]{z_{2}+e^{i\pi /3}{\sqrt[{3}]{z_{3},}$

${\displaystyle y_{3}=e^{i\pi /3}{\sqrt[{3}]{z_{2}+e^{-i\pi /3}{\sqrt[{3}]{z_{3},}$

zależności

${\displaystyle y_{2}+y_{3}={\sqrt[{3}]{z_{2}+{\sqrt[{3}]{z_{3},\quad y_{2}y_{3}={\sqrt[{3}]{z_{2}^{2}+{\sqrt[{3}]{z_{3}^{2}-{\sqrt[{3}]{z_{2}z_{3}$

prowadzą do układu równań

${\displaystyle z_{2}+z_{3}=q,}$

${\displaystyle 27z_{2}z_{3}=-p^{3},}$

który rozwiązujemy rozwiązując proste równanie kwadratowe.

Podstawienie Viète’a

W równaniu kanonicznym ${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$ podstawiamy

${\displaystyle y=z-{\frac {p}{3z},}$

co prowadzi do równania kwadratowego na ${\displaystyle z^{3}$

${\displaystyle (z^{3})^{2}+qz^{3}-{\frac {p^{3}{27}=0,}$

a dalej do sześciu rozwiązań na ${\displaystyle z,}$ ale tylko trzech na ${\displaystyle y,}$ jako że każda liczba rzeczywista lub zespolona różna od zera ma zawsze trzy pierwiastki trzeciego stopnia.

Zobacz też

• równanie kwadratowe
• równanie czwartego stopnia
• równanie zwrotne

Przypisy

Bibliografia

• Sierpiński, Wacław: Zasady algebry wyższej, „Monografie Matematyczne” Tom 11, Rozdział 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki
• Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive (ang.)

Linki zewnętrzne

• Równanie sześcienne z przykładami na stronie zadania.inf
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cubic Equation, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• How Imaginary Numbers Were Invented (ang.), kanał Veritasium na YouTube, 1 listopada 2021 [dostęp 2023-05-21] – film o genezie liczb zespolonych w rozwiązaniach równania kubicznego.
• Jak rozwiązać równanie 3 stopnia wielomianowe, kanał na YouTube