Szereg Neumanna

Szereg Neumanna - szereg będący odwrotnością rezolwenty w przestrzeni unormowanej. Dla operatora ${\displaystyle T\colon X\to X}$ na przestrzeni unormowanej ${\displaystyle X}$ oznaczamy przez ${\displaystyle T^{0}={\text{id}$ oraz ${\displaystyle T^{k+1}=T^{k}\circ T}$ jego złożenie. Wtedy szeregiem Neumanna nazywamy szereg

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T^{k}$

zbieżny w normie operatorowej^[1][2].

Szereg nosi nazwisko Carla Neumanna, w którego pracy pojawił się po raz pierwszy w 1877 r. w kontekście teorii potencjału. Szereg Neumanna jest uogólnieniem szeregu potęgowego.

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Banacha, ${\displaystyle ||\cdot ||_{X}$ odpowiadającą normą operatorową oraz ${\displaystyle ||T||_{X}<1}$, to oznaczając przez ${\displaystyle S_{n}$ ciąg sum częściowych,

${\displaystyle ||S_{m}-S_{n}||_{X}=\left|\left|\sum _{k=n+1}^{m}T^{k}\right|\right|_{X}\leqslant \sum _{k=n+1}^{m}||T^{k}||_{X}\leqslant \sum _{k=n+1}^{m}||T||_{X}^{k}\leqslant \sum _{k=n+1}^{\infty }||T||_{X}^{k}={\frac {||T||_{X}^{n+1}{1-||T||_{X}$,

dlatego ${\displaystyle S_{n}$ jest ciągiem Cauchy'ego, więc jest zbieżny. Ponadto, wtedy

${\displaystyle ({\text{id}-T)S_{n}=\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}T^{k}={\text{id}-T^{n+1}$,

co dąży do operatora identycznościowego, gdy ${\displaystyle n\to \infty }$ oraz

${\displaystyle S_{n}({\text{id}-T)=\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}T^{k}={\text{id}-T^{n+1}$,

więc szereg Neumanna jest równy ${\displaystyle ({\text{id}-T)^{-1}$. W ogólności, jeśli

${\displaystyle R_{\lambda }(T)=(T-\lambda {\text{id})^{-1}$

dla ${\displaystyle \lambda \in \rho (T)}$ (poza spektrum ${\displaystyle T}$) jest rezolwentą operatora ${\displaystyle T}$, to szereg Neumanna

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}T^{k}$

jest równy ${\displaystyle R_{\lambda }(T)}$.

Korzystając z szeregu Neumanna można wykazać przy powyższych założeniach, że

${\displaystyle ||R_{\lambda }(T)||_{X}\leqslant \sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}||T||_{X}^{k}={\frac {1}{1-|\lambda |||T||_{X}$.

Analogicznie można wykazać, że^[2]

${\displaystyle ||R_{\lambda }(T)-{\text{id}||_{X}\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|\lambda |^{k}||T^{k}||_{X}\leqslant {\frac {|\lambda |||T||_{X}{1-|\lambda |||T||_{X}$.