Transformata Hilberta

Ten artykuł od 2010-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji: jaka jest dziedzina?.

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {Dopracować} z tego artykułu.

Transformata Hilberta ${\displaystyle {\widehat {g}(t)}$ funkcji ${\displaystyle g(t)}$ oraz transformata do niej odwrotna definiowana jest w następujący sposób:

${\displaystyle {\widehat {g}(t)={\frac {1}{\pi }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g(\tau )}{t-\tau }\,d\tau ,}$

${\displaystyle g(t)=-{\frac {1}{\pi }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\widehat {g}(\tau )}{t-\tau }\,d\tau .}$

Jest to splot funkcji ${\displaystyle g(t)}$ z funkcją ${\displaystyle h(t)={\frac {1}{\pi t}.}$

Transformata Fouriera funkcji ${\displaystyle h(t)}$ wynosi:

${\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}\{h\}(\omega )=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )={\begin{cases}+j&{\text{dla }\omega <0\\0&{\text{dla }\omega =0\\-j&{\text{dla }\omega >0\end{cases},}$

gdzie ${\displaystyle j}$ oznacza jednostkę urojoną.

Na podstawie zasady, że splotowi funkcji odpowiada mnożenie ich widm (w sensie transformat Fouriera), wynika z tego, że widmo transformaty Hilberta ${\displaystyle {\widehat {s}(t)}$ różni się od widma „oryginalnego” sygnału ${\displaystyle s(t)}$ jedynie tym, że dodatnia połówka ulega wymnożeniu przez ${\displaystyle -j,}$ a ujemna przez ${\displaystyle +j.}$ Mnożenie widma przez ${\displaystyle \pm j}$ oznacza przesunięcie fazy o ${\displaystyle \pm }$90°, przy zachowaniu niezmienionej amplitudy.

${\displaystyle {\widehat {G}(\omega )={\mathcal {F}\{h\}(\omega )\cdot {\mathcal {F}\{g\}(\omega )=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )\cdot G(\omega )={\begin{cases}+j\cdot G(\omega )&{\text{dla }\omega <0\\0&{\text{dla }\omega =0\\-j\cdot G(\omega )&{\text{dla }\omega >0\end{cases}.}$

1. Transformata jest przekształceniem liniowym.
2. Sygnał ${\displaystyle g(t)}$ i jego transformata Hilberta mają to samo widmo amplitudowe.
3. Dwukrotnie transformując sygnał ${\displaystyle g(t)}$ otrzymamy ${\displaystyle -g(t).}$
4. Sygnał ${\displaystyle g(t)}$ i jego transformata są ortogonalne.

Sygnał   ${\displaystyle u(t)}$	transformata Hilberta   ${\displaystyle {\widehat {u}(t)}$
${\displaystyle \sin(t)}$	${\displaystyle -\cos(t)}$
${\displaystyle \cos(t)}$	${\displaystyle \sin(t)}$
${\displaystyle {\frac {1}{t^{2}+1}$	${\displaystyle {\frac {t}{t^{2}+1}$
funkcja sinc    ${\displaystyle {\frac {\sin(t)}{t}$	${\displaystyle {\frac {1-\cos(t)}{t}$
sygnał prostokątny    ${\displaystyle \sqcap (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }\ln \left|{\frac {t+{\frac {1}{2}{t-{\frac {1}{2}\right|}$
delta Diraca    ${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi t}$
funkcja charakterystyczna zbioru    ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }\log \left\vert {\frac {x-a}{x-b}\right\vert }$

• sygnał analityczny

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].