Twierdzenie (Clausiusa) o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale
średnie energie spełniają zależność
![{\displaystyle 2\langle {E_{\mathrm {k} }\rangle =n\langle {E_{\mathrm {p} }\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42ed66e97eff7e367ea3506e114909b728870ce)
Na przykład dla oscylatora harmonicznego
a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale
Dla planety w polu grawitacyjnym
wobec tego
![{\displaystyle 2\langle E_{\mathrm {k} }\rangle =-\langle E_{\mathrm {p} }\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434c1c032c6bf94d6be102de3cff1ecc71d3bd7a)
Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk – gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.
Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej
Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je wyprowadzić, korzystając z własności komutatorów oraz twierdzenia Ehrenfesta:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\langle A\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }\langle [A,H]\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb09058515ce20f4cd6e5966c3cdaf661fafb19)
Podstawimy
![{\displaystyle A=xp,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4248ef90b13027a6439abb68ceccfe4b770886bb)
gdzie:
– operator pędu,
– operator położenia,
oraz
![{\displaystyle H=T+V(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f135f832b964bb850e9cecdbc1bfc28397e212c)
gdzie:
– operator energii kinetycznej,
– energia potencjalna.
Obliczmy
![{\displaystyle [xp,T]=[x,T]p+x[p,T]=[x,T]p={\frac {1}{2m}[x,p^{2}]p={\frac {1}{2m}{\big (}[x,p]p+p[x,p]{\big )}p={\frac {2\mathrm {i} \hbar }{2m}p^{2}=2\mathrm {i} \hbar T.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfcdd693150434d3a58ddd341c881da7f53552a)
Obliczmy
![{\displaystyle {\big [}xp,V(x){\big ]}={\big [}x,V(x){\big ]}p+x{\big [}p,V(x){\big ]}=x{\big [}p,V(x){\big ]}=-\mathrm {i} \hbar x\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x},V(x)\right]=-\mathrm {i} \hbar x\left({\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}+V(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}-V(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}\right)=-\mathrm {i} \hbar x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e87d5b7a99f2b256e64749dd963c3411ed5d96)
Ostatecznie mamy:
![{\displaystyle [xp,H]=[xp,T]+{\big [}xp,V(x){\big ]}=\mathrm {i} \hbar \left(2T-x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b078007318c7b1eb3b93abc06a03e7ec8af2d330)
Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta, dostajemy
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\langle xp\rangle =2\langle T\rangle -\left\langle x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}\right\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6baa2935df9458d4311faf6c879d2af5137b714)
Średnie
w powyższym równaniu należy obliczać dla stanu własnego
hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\langle xp\rangle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\langle \psi |xp|\psi \rangle =\langle {\dot {\psi }|xp|\psi \rangle +\langle \psi |xp|{\dot {\psi }\rangle ={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }\langle \psi |Exp|\psi \rangle +{\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }\langle \psi |xpE|\psi \rangle =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6c2c8a1340ed76cfb8614e1620e4cc6a4302f0)
gdzie:
– energia całkowita w tym stanie.
Wówczas równanie przyjmuje postać:
![{\displaystyle 2\langle T\rangle =\left\langle x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}\right\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a490a18cb893b06975df3ec1f65c664682488b)
Przyjmując
dostajemy twierdzenie o wiriale.
Zobacz też