Lema ëd Riesz

Ël lema ëd Riesz a fortiss che si E a l'é në spassi vetorial normà e M a l'é 'n sot-ëspassi sarà d'E, con ${\displaystyle M\neq E}$, antlora

${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+},\exists {\vec {u}\in E\mid ||{\vec {u}||=1\wedge d({\vec {u},M)\geq 1-\varepsilon }$.

Ch'as consìdera n'element ${\displaystyle {\vec {v}\in E-M}$. Dagià che M a l'é sarà, la distansa ${\displaystyle d=d({\vec {v},M)}$ a l'é positiva. Ch'as serna ${\displaystyle {\vec {m_{0}\in M}$ tal che

${\displaystyle d\leq ||{\vec {v}-{\vec {m_{0}||\leq {\frac {d}{1-\varepsilon }$.

Antlora

${\displaystyle {\vec {u}={\frac {1}{||{\vec {v}-{\vec {m_{0}||}({\vec {v}-{\vec {m_{0})}$

a sodisfa la condission. An efet, pijà ${\displaystyle {\vec {m}\in M}$, a val

${\displaystyle ||{\vec {u}-{\vec {m}||=||{\frac {1}{||{\vec {v}-{\vec {m_{0}||}({\vec {v}-{\vec {m_{0})-{\vec {m}||\geq 1-\varepsilon }$,

dagià che

${\displaystyle {\vec {m_{0}+||{\vec {v}-{\vec {m_{0}||{\vec {m}\in M}$.

Si M a l'é arflessiv, la conclusion dël lema a val ëdcò con ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Sòn a l'é nen vera ant ël cas general.