Logaritm ëd Napier

La fonsion ${\displaystyle {\frac {1}{x}$ a l'é na fonsion continua an sla semireta ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}$. Donca a esisto dle fonsion, definìe a manch ëd na costanta aditiva ansima a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}$, ch'a son le primitive d'${\displaystyle {\frac {1}{x}$, visadì dont la derivà a l'é ${\displaystyle {\frac {1}{x}$.
As ciama logaritm (ëd Napier) cola dle primitive d'${\displaystyle {\frac {1}{x}$ ch'as anula për x=1. A l'é denotà logx.

Da la definission a-i ven che log x a l'é na fonsion derivàbil, e donca continua. Dagià che soa derivà a l'é positiva, as trata ëd na fonsion chërsenta.

Fissoma un nùmer real a>0 e consideroma la fonsion definìa ansima a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}$ da ${\displaystyle f_{a}(x)=\log ax}$. Costa fonsion a l'é derivàbil e soa derivà a l'é ${\displaystyle f_{a}'(x)={\frac {a}{ax}={\frac {1}{x}$. Donca ${\displaystyle f_{a}(x)-\log x}$ a l'é na costanta, ugual a ${\displaystyle f_{a}(1)=\log a}$. Da sòn a-i ven la fórmola fondamental ch'a fortiss che, për qualsëssìa nùmer reaj positiv a,b,

logab=loga+logb.

Da costa as oten che për minca real a>0 e minca natural n, a val l'ugualiansa

${\displaystyle \log a^{n}=n\log a}$

e, pì an general,

${\displaystyle \log a^{r}=r\log a}$

për qualsëssìa nùmer rassional r. Parèj as oten ëdcò che

${\displaystyle \log {\frac {a}{b}=\log a-\log b}$,

si a e b a son positiv.

La sequensa ${\displaystyle \log 2^{n}=n\log 2}$ a divergg a ${\displaystyle +\infty }$, dagià che log2>log1=0. Sòn e la chërsensa dla fonsion a ìmplico che

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\log x=+\infty }$.

Da la relassion ${\displaystyle \log {\frac {1}{y}=-\log y}$ a-i ven ëdcò che

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0^{+}\log x=-\infty }$.

La fonsion logaritm a peul esse dësvlupà tanme:

${\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}{2}+{\frac {x^{3}{3}-\ldots }$.