Mzura ëd Hausdorff

Consideroma në spassi métrich X e un sot-ansem S d'X. Për minca nùmer real ${\displaystyle p\geq 0}$ definioma ${\displaystyle \delta ^{p}(S)=[diam(S)]^{p}$, con le convension ${\displaystyle \delta ^{0}(S)=1}$ si ${\displaystyle S\neq \emptyset }$ e ${\displaystyle \delta ^{p}(\emptyset )=0}$. Për minca nùmer real ε>0 denotoma σ(S,p,ε) l'ansem ëd tute le some dla forma ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\delta ^{p}(S_{j})}$ anté che ${\displaystyle (S_{j})}$ a son ëd sequense ëd sot-ansem d'X taj che

${\displaystyle S\subseteq \cup _{j\in \mathbb {N} }S_{j}$ e, për tuti j'ìndes j, ${\displaystyle diam(S_{j})<\varepsilon }$.

Butoma peui

${\displaystyle \Lambda _{\varepsilon }^{p}(S)=\inf \sigma (S,p,\varepsilon )}$.

Dagià che

${\displaystyle \varepsilon '\leq \varepsilon \Rightarrow \sigma (S,p,\varepsilon ')\subseteq \sigma (S,p,\varepsilon )}$,

i l'oma che ${\displaystyle \Lambda _{\varepsilon }^{p}$ a l'é nen chërsenta tanme na fonsion d'ε.

As definiss la mzura ëd Hausdorff p-dimensional ${\displaystyle \Lambda ^{p}(S)}$ d'S an butand

${\displaystyle \Lambda ^{p}(S)=\sup\{\Lambda _{\varepsilon }^{p}(S)\mid \varepsilon >0\}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}\Lambda _{\varepsilon }^{p}(S)}$.

• ${\displaystyle \Lambda ^{0}$ a l'é la mzura ch'a conta ij pont, visadì ${\displaystyle \Lambda ^{0}(S)}$ a l'é la cardinalità d'S si S a l'é finì, dësnò a val ${\displaystyle +\infty }$.
• Për minca ${\displaystyle p\geq 0}$, la fonsion ${\displaystyle \Lambda ^{p}$ a l'é na mzura esterior ansima a X tal che j'ansem borielian a son ëmzuràbij.
• Si ${\displaystyle S\subseteq X}$ a l'é tal che ${\displaystyle \Lambda ^{p}$ a l'é localman finìa ansima a S (visadì për minca ${\displaystyle x\in S}$ a-i é n'anviron I d'x tal che ${\displaystyle \Lambda ^{p}(S\cap I)<+\infty }$) e p'>p, antlora ${\displaystyle \Lambda ^{p'}(S)=0}$.
• Si X a l'é na varietà riemannian-a ëd dimension m e p a l'é n'antregh positiv pì cit che m, antlora ${\displaystyle \Lambda ^{p}$ a l'é localman finìa ansima a mica sot-varietà p-dimensional d'X.
• Si ${\displaystyle f:X\to Y}$ a l'é na fonsion lipschitzian-a antra spassi métrich ëd costanta λ, antlora për minca sot-ansem ${\displaystyle S\subseteq X}$ e për minca p>0 a val la relassion ${\displaystyle \Lambda ^{p}(f(S))\leq \lambda ^{p}\Lambda ^{p}(S)}$.