Aplicação equivariante

 Nota: Para equivariância na teoria da estimação, veja Estimador invariante.

Em matemática, uma aplicação invariante é uma função entre dois conjuntos que comuta com a ação de um grupo. Especificamente, seja G um grupo e sejam X e Y os G-conjuntos associados. Uma função f : X → Y é dita equivariante se

f(g·x) = g·f(x)

para todo g ∈ G e todo x em X. Note que se uma ou ambas as ações forem ações à direita a condição que define a equivariância deve ser modificada adequadamente:

f(x·g) = f(x)·g ; (direita-direita)

f(x·g) = g⁻¹·f(x) ; (direita-esquerda)

f(g·x) = f(x)·g⁻¹ ; (esquerda-esquerda)

Aplicações equivariantes são homomorfismos na categoria dos G-conjuntos (para um G fixado). Assim, elas também são conhecidas como G-aplicações ou G-homomorphismos. Os isomorfismos de G-conjuntos são simplesmente as aplicações equivariantes bijetoras.

A condição de equivariância também pode ser entendida como por meio do seguinte diagrama comutativo. Observe que ${\displaystyle g\cdot }$ denota a aplicação que recebe um elemento ${\displaystyle z}$ e retorna ${\displaystyle g\cdot z}$.

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