Em matemática, especificamente em processos estocásticos, a fórmula de Dynkin é um teorema que dá o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de uma difusão de Itō em um tempo de parada. Pode ser vista como a generalização estocástica do (segundo) teorema fundamental do cálculo. Recebe este nome em homenagem ao matemático russo Eugene Dynkin.
Afirmação
Considere a difusão de Itō com valor em que resolve a equação diferencial estocástica
Para um ponto , considere que denota a lei de , sendo o dado inicial , e que denota o valor esperado em relação a .
Considere o gerador infinitesimal de , definido por sua ação em funções compactamente suportadas (duplamente diferenciáveis com segunda derivada contínua) , conforme
ou, equivalentemente,
Considere que é um tempo de parada com e é com suporte compacto. Então, a fórmula de Dynkin afirma que:[1]
Na verdade, se for o primeiro tempo de saída para um conjunto limitado com , então, a fórmula de Dynkin se aplica para todas as funções , sem o pressuposto do suporte compacto.
Exemplo
A fórmula de Dynkin pode ser usada para encontrar o primeiro tempo de saída esperado do movimento browniano da bola fechada
que, quando começa em um ponto no interior de , é dado por
Escolha um número inteiro . A estratégia é aplicar a fórmula de Dynkin com , e uma função com em . O gerador do movimento browniano é , em que denota o operador de Laplace. Por isso, pela fórmula de Dynkin,
Assim, para qualquer ,
Agora, considere para concluir que quase certamente e
como afirmado.[2]
Referências
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Tempo discreto | |
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Tempo contínuo | |
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Ambos | |
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Campos e outros | |
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Modelos de série temporal | |
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Modelos financeiros |
- Black–Derman–Toy
- Black–Karasinski
- Chen
- Cox–Ingersoll–Ross (CIR)
- Garman–Kohlhagen
- Heath–Jarrow–Morton (HJM)
- Heston
- Ho–Lee
- Hull–White
- LIBOR market
- Rendleman–Bartter
- SABR volatility
- Vašíček
- Wilkie
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Modelos atuariais |
- Bühlmann
- Cramér–Lundberg
- Sparre–Anderson
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Modelos de filas | |
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Propriedades | |
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Teoremas limites | |
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Desigualdades | |
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Disciplinas | |
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