Norma matricial

Em matemática, uma norma matricial é uma norma definida para matrizes.

Seja ${\displaystyle M^{n\times m}\,}$ o espaço vetorial das matrizes ${\displaystyle n\times m\,}$ reais ou complexas. Uma norma ${\displaystyle \|.\|\,}$ é uma função que associa a cada matriz um número real não negativo e satisfaz as propriedades

^[1]

1. ${\displaystyle \|A\|=0\Leftrightarrow A=0\,}$
2. ${\displaystyle \|\lambda A\|=|\lambda |\|A\|\,}$
3. ${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|\,}$

Quando uma matriz ${\displaystyle A\in M^{m\times n}\,}$ é vista como um operador entre os espaços euclidianos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ e ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\,}$, a norma natural é dada pela norma operacional:

${\displaystyle \|A\|=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}$

A definição é análoga para o caso complexo.

Esta norma tem seguintes propriedades adicionais:

• ${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|\,}$, sempre que o produto está bem definido
• ${\displaystyle \|I\|=1\,}$ onde ${\displaystyle I\,}$ é a matriz identidade.

Seja ${\displaystyle A=\left[a_{ij}\right]_{r\times s}\,}$ uma matriz ${\displaystyle r\times s}$. A norma infinito ou norma do máximo da matriz ${\displaystyle A\,}$, denotada por ${\displaystyle \|A\|_{\infty }\,}$, é o número não negativo

${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq r}\sum _{j=1}^{s}|a_{ij}|\,}$

(a maior soma absoluta das linhas)^[2]

Seja ${\displaystyle A=\left[a_{ij}\right]_{r\times s}\,}$ uma matriz ${\displaystyle r\times s}$. A norma 1 da matriz ${\displaystyle A\,}$, denotada por ${\displaystyle \|A\|_{1}\,}$, é o número não negativo

${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq s}\sum _{i=1}^{r}|a_{ij}|\,}$

A norma da matriz ${\displaystyle A={\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}\,}$, por exemplo, é ${\displaystyle \|A\|_{1}=max\left\{|1|+|2|,|3|+|-1|\right\}=max\left\{3,4\right\}=4\,}$^[3]

Estas normas vetoriais tratam uma matriz ${\displaystyle m\times n}$ como um vetor de tamanho ${\displaystyle mn}$ e utilizam uma das normas vetoriais usuais.

Por exemplo, usando-se a p-norma para vetores, temos:

${\displaystyle \Vert A\Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}.\,}$

Esta é uma norma diferente das demais normas de matrizes, porém a notação é a mesma.

O caso especial p = 2 é a norma de Frobenius, e p = ∞ dá a nórma do máximo.

A norma de Frobenius é sub-multiplicativa e é muito útil em álgebra linear numérica. Esta norma costuma ser mais simples de calcular que as demais normas.

Se a norma vetorial de ${\displaystyle R^{n}$ é dada, então se define a correspondente norma matricial induzida como os seguintes máximos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|&=\max\{\|Ax\|:x\in R^{n}{\mbox{ with }\|x\|=1\}\\&=\max \left\{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}:x\in R^{n}{\mbox{ with }x\neq 0\right\}.\end{aligned}$

A norma do operador correspondente à p-norma vetorial é:

${\displaystyle \left\|A\right\|_{p}=\max \limits _{x\neq 0}{\frac {\left\|Ax\right\|_{p}{\left\|x\right\|_{p}.}$

No caso de ${\displaystyle p=1}$ e ${\displaystyle p=\infty }$, as normas podem ser calculadas como:

${\displaystyle \left\|A\right\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|,}$ que é simplesmente a máximo soma das coluna em absoluto.

${\displaystyle \left\|A\right\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|,}$ que é simplesmente a máxima soma das linhas em absoluto da matriz.

Demonstração para o caso p=1

Por um lado, considere

${\displaystyle {\frac {\left\|Ax\right\|}{\left\|x\right\|}={\frac {\sum _{j=1}^{n}|\sum _{i=1}^{n}a_{ij}x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}\leq {\frac {\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}||x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}\leq {\frac {\sum _{j=1}^{n}\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}||x_{j}|}{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|.}$

Por outro lado, seja o vetor ${\displaystyle x}$, com zero em todas as entradas exceto para a j-ésima entrada onde ${\displaystyle \max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|}$ ocorre. Tem-se

${\displaystyle |Ax|=\sum _{i=1}^{n}{|a_{ij}x_{j}|}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|.}$

Assim, pelo definição da norma e pelo Teorema do confronto, temos

${\displaystyle \left\|A\right\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|.}$ Cqd

Dado que as matrizes formam um espaço de dimensão finita real ou complexo, todas as normas são equivalentes. Ou seja se ${\displaystyle \|.\|_{1}\,}$ e ${\displaystyle \|.\|_{2}\,}$ são normas em ${\displaystyle M^{n\times m}\,}$ então existem constantes ${\displaystyle C_{1}\,}$ e ${\displaystyle C_{2}\,}$ tais que:

${\displaystyle C_{1}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq C_{2}\|A\|_{1},~~\forall A\in M^{n\times m}\,}$

Referências