Se e são autovalores diferentes associados a autovetores e . Então :
Como e são distintos, temos , portanto .
Aplicação do hermitiano na mecânica quântica
Dizer que duas funções diferentes e são ortogonais significa que a integral (varrendo todo o espaço) do produto dessas funções é igual a zero:
para
Prova da ortogonalidade de funções de onda
Sejas duas autofunções e correspondentes a dois valores diferentes de energia e respectivamente. Podemos então escrever:
e
e
Como o hamiltoniano é hermitiano, temos:
Como as energias são distintas, a integral será nula, confirmando a ortogonalidade.
Operador Linear
No caso de operadores lineares, temos sua representação matricial. Uma matriz é dita matriz hermitiana ou autoadjunta se for idêntica à sua matriz transposta conjugada. O resultado a seguir relaciona os autovalores de uma matriz Hermitiana e de uma submatriz principal em forma de entrelaçamento de autovalores.[1]
Teorema
Considere uma matriz Hermitiana de ordem , um inteiro com e uma submatriz principal de ordem de (obtida removendo linhas e suas colunas correspondentes de ). Para cada inteiro tal que , obtemos
Esse resultado é também conhecido como princípio da inclusão.
Referências
↑ abHorn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN0-521-38632-2 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)