Potencial newtoniano
Em matemática , o potencial newtoniano é um operador que age como uma espécie de inversa do operador
−
△
{\displaystyle -\triangle \,}
. Ou seja, se
f
{\displaystyle f\,}
é um campo em
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}
, então o potencial newtoniano de
f
{\displaystyle f\,}
,
G
∗
f
{\displaystyle {\mathcal {G}*f\,}
é definido como a solução
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
do seguinte problema de Poisson :
{
−
△
ϕ
=
f
,
x
∈
R
n
lim
|
x
|
→
∞
|
ϕ
(
x
)
|
/
|
x
|
3
−
n
=
0
{\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\displaystyle -\triangle \phi =f,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}\\\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|\phi (x)|/|x|^{3-n}=0\end{array}\right.}
contanto que a solução exista.
Quando visto como um operador convolução , o núcleo newtoniano é dado pelo núcleo de Poisson:
G
(
x
)
=
{
c
1
|
x
|
:
d
=
1
c
2
log
‖
x
‖
:
d
=
2
c
d
‖
x
‖
2
−
d
:
d
>
2
{\displaystyle {\mathcal {G}(x)=\left\{\begin{matrix}c_{1}\left|x\right|&:&d=1\\c_{2}\log {\left\|x\right\|}&:&d=2\\c_{d}\left\|x\right\|^{2-d}&:&d>2\end{matrix}\right.}
c
d
{\displaystyle c_{d}\,}
é um constante de normalização e é tal que:
∫
R
d
G
(
x
)
=
1
,
d
≥
2
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}{\mathcal {G}(x)=1,d\geq 2}
Ver também
Referências
Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations . Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2 .
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