Regra da cadeia

Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.

Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena ${\displaystyle \left({\dfrac {dy}{dx}\right).}$

A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.

A regra da cadeia afirma que

$${\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x),}$$

que em sua forma sucinta é escrita como: ${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'}$

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

$${\displaystyle {\frac {df}{dx}={\frac {df}{dg}\cdot {\frac {dg}{dx}$$

Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a integração por substituição.

Intuitivamente, a regra da cadeia afirma que sabendo-se a taxa de variação instantânea de z relativa à y e àquela de y relativa à x permite que se calcule a taxa de variação instantânea de z relativa à x. Como dito por George F. Simmons: "se um carro viaja duas vezes mais rápido que uma bicicleta, e a bicicleta é quatro vezes mais rápida que um andarilho, então o carro viaja 2 × 4 = 8 vezes mais rapidamente que o andarilho."^[1]

• Exemplo 1: Considere ${\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}.}$ Temos que ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ onde ${\displaystyle g(x)=x^{2}+1}$ e ${\displaystyle h(g(x))=(g(x))^{3}.}$ Então, $${\displaystyle f'(x)=3(x^{2}+1)^{2}(2x)=6x(x^{2}+1)^{2}.}$$
• Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo: $${\displaystyle f(x)=\mathrm {sen} \,(x^{2}),}$$ pode ser escrita como ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ com ${\displaystyle h(x)=\mathrm {sen} \,x}$ e ${\displaystyle g(x)=x^{2}.}$ A regra da cadeia afirma que $${\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})}$$ uma vez que ${\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})}$ e ${\displaystyle g'(x)=2x.}$

A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função ${\displaystyle z=f(x,y)}$ onde ${\displaystyle x=g(t)}$ e ${\displaystyle y=h(t),}$ então^[2] $${\displaystyle {\partial z \over \partial t}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}$$

Suponha que cada função de ${\displaystyle z=f(u,v)}$ é uma função de duas variáveis tais que ${\displaystyle u=h(x,y)}$ e ${\displaystyle v=g(x,y),}$ e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a: $${\displaystyle {\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$$

$${\displaystyle {\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}$$

Se considerarmos ${\displaystyle {\vec {r}=(u,v)}$ acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o produto escalar do gradiente de ${\displaystyle f}$ e a derivada de ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}:}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}={\vec {\nabla }f\cdot {\frac {\partial {\vec {r}{\partial x}$$

Em geral, para funções de vetores a vetores, a regra da cadeia afirma que a Matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes Jacobianas de duas funções: $${\displaystyle {\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}={\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}$$

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