Algebră Grassmann

Algebra Grassmann sau algebră exterioară (a unui spațiu vectorial real finit-dimensional ${\displaystyle V}$ ) este o ${\displaystyle \mathbb {R} }$-algebră asociativă cu element 1, notată ${\displaystyle \Lambda (V)}$, cu proprietățile:

• ${\displaystyle V}$ este un subspațiu vectorial al lui ${\displaystyle \Lambda (V)}$ și ${\displaystyle v\wedge v=0}$ pentru orice ${\displaystyle v\in V,}$ unde prin ${\displaystyle \wedge }$ se notează înmulțirea în ${\displaystyle \Lambda (V)}$;
• algebra ${\displaystyle \Lambda (V)}$ este generată de elementul unitate împreună cu elementele lui ${\displaystyle V}$ ;
• ${\displaystyle \Lambda (V)}$ este un spațiu vectorial de dimensiune ${\displaystyle 2^{n},}$ unde ${\displaystyle n}$ este dimensiunea lui ${\displaystyle V}$.

Nmele provine de la matematicianul Hermann Grassmann care, în 1846, a introdus așa-numitele mărimi extensive, precursoare ale multivectorilor de mai târziu.

Pentru a construi o astfel de algebră, se consideră spațiul vectorial ${\displaystyle V^{*}:=Hom_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} )}$, care este dualul spațiului vectorial ${\displaystyle V}$ adică spațiul tuturor funcționalelor (formelor) liniare pe ${\displaystyle V.}$

Definiție. Dacă ${\displaystyle W,V_{1},V_{2},\cdots ,V_{p}$ sunt spații vectoriale, o aplicație ${\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots \times V_{p}\longrightarrow W}$ se numește aplicație ${\displaystyle p}$-liniară (sau aplicație multiliniară de grad ${\displaystyle p}$) dacă, pentru orice ${\displaystyle i\in \{1,2,\cdots ,p\}$ și orice sistem de vectori ${\displaystyle v_{j}\in V_{j},j\neq i}$, aplicație parțială

${\displaystyle V_{i}\ni v\mapsto f(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\cdots ,v_{p})\in W}$

este liniară.

Definiție. O aplicație multiliniară de grad ${\displaystyle p=2}$ se numește aplicație biliniară.

Definiție. Se numește p-tensor covariant (sau tensor covariant de grad p sau funcțională multiliniară de grad p sau formă p-liniară) pe ${\displaystyle V}$ orice aplicație p-liniară ${\displaystyle f:V^{p}\to \mathbb {R} .}$

Mulțimea tuturor p-tensorilor covarianți pe spațiul vectorial ${\displaystyle V}$ are o structură evidentă de spațiui vectorial; acest spațiu vectorial se notează prin ${\displaystyle T^{p}(V^{*})}$ și se numește a p-a putere tensorială a lui ${\displaystyle V^{*}.}$

Există relația ${\displaystyle T^{1}(V^{*})=V^{*}$ și se pune, prin definiție, ${\displaystyle T^{0}(V^{*}):=\mathbb {R} }$ adică un tensor covariant de grad zero pe ${\displaystyle V}$ este un număr real. În fine, se pune:

${\displaystyle T(V^{*}):=\bigoplus _{p\geq 0}T^{p}(V^{*})\;}$ (suma directă de spații vectoriale).

Definiție. Dacă ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$, produsul tensorial a doi tensori covarianți ${\displaystyle f\in T^{p}(V^{*})}$ și ${\displaystyle g\in T^{q}(V^{*})}$ este tensorul covariant ${\displaystyle f\otimes g\in T^{p+q}(V^{*})}$ definit prin:

${\displaystyle (f\otimes )g(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p+q})=f(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p})g(v_{p+1},v_{p+2},\cdots ,v_{p+q})}$

pentru ${\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p+q}\in V.}$

Când ${\displaystyle p=0,\;f=c\in \mathbb {R} }$ și se pune ${\displaystyle f\bigotimes g=cg;}$ în mod similar se tratează cazul ${\displaystyle q=0.}$ Produsul tensorial este o operație biliniară și asociativă, dar necomutativă în grade ${\displaystyle p,q\geq 1.}$ Această operație se extinde prin liniaritate la o înmulțire pe spațiul vectorial ${\displaystyle T(V^{*}),}$ care face din acest spațiu vectorial o ${\displaystyle \mathbb {R} -}$algebră, numită algebră tensorială a lui ${\displaystyle V^{*}.}$ Pentru orice ${\displaystyle p\in \mathbb {N} ,}$ grupul ${\displaystyle S_{p}$ al permutărilor mulțimii ${\displaystyle \{1,2,\cdots ,p\}$ acționează la stânga pe spațiul vectorial ${\displaystyle T^{p}(V^{*})}$ prin aplicația ${\displaystyle S_{p}\times T^{p}(V^{*})\ni (\sigma ,f)\mapsto \sigma f\in T^{p}(V^{*})}$ definită prin:

${\displaystyle \sigma (v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p}):=f(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\cdots ,v_{\sigma (p)})}$

pentru orice ${\displaystyle p-}$uplu de vectori ${\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p}\in V.}$ Un ${\displaystyle p-}$tensor covariant ${\displaystyle f}$ pe spațiul vectorial ${\displaystyle V}$ se numește alternant (sau exterior) dacă ${\displaystyle \sigma f=\varepsilon (\sigma )f}$ pentru orice ${\displaystyle \sigma \in S_{p},}$ unde ${\displaystyle \varepsilon (\sigma )}$ este semnul permutării ${\displaystyle \sigma }$ adică ${\displaystyle \varepsilon (\sigma )=1}$ când ${\displaystyle \sigma }$ este pară și ${\displaystyle \varepsilon (\sigma )=-1}$ când ${\displaystyle \sigma }$ este impară.

Mulțimea tuturor ${\displaystyle p-}$tensorilor covarianți alternanți pe ${\displaystyle V}$ este un subspațiu vectorial al lui ${\displaystyle T^{p}(V^{*})}$, care se notează prin ${\displaystyle \wedge ^{p}(V^{*})}$ și se numește puterea exterioară de grad ${\displaystyle p}$ al lui ${\displaystyle V^{*}$. Există relația: ${\displaystyle \wedge ^{1}(V^{*})=T^{1}(V^{*})=V^{*}$ și se pune, prin definiție, ${\displaystyle \wedge ^{0}(V^{*}):=T^{0}(V^{*})=\mathbb {R} .}$ În fine, se pune:

${\displaystyle \wedge (V^{*})=\bigoplus _{p\geq 0}\wedge ^{p}(V^{*})}$ (sumă directă de spații vectoriale).

Definiție. Pentru orice număr natural ${\displaystyle p}$ se definește o aplicație liniară ${\displaystyle Alt:T^{p}(V^{*})\to T^{p}(V^{*})}$, numită aplicația de alternare, definită prin:

${\displaystyle Alt({\mathit {f}):={\frac {1}{p!}\sum _{\sigma \in S_{p}\varepsilon (\sigma )\sigma f.}$

Această aplicație posedă proprietățile:

1. Pentru orice ${\displaystyle f\in T^{p}(V^{*}),}$ rezultă ${\displaystyle Alt(f)\in \Lambda \;^{p}(V^{*});}$
2. Dacă ${\displaystyle f\in \Lambda \;^{p}(V^{*}),}$ atunci ${\displaystyle Alt(f)=f;}$
3. ${\displaystyle Alt(\sigma f)=\varepsilon (\sigma )Alt(f);}$
4. ${\displaystyle Alt(Alt(f)\otimes g)=Alt(f\otimes Alt(g))=Alt(f\otimes g)}$ pentru ${\displaystyle f\in T^{p}(V^{*})}$ și ${\displaystyle g\in T^{q}(V^{*});}$
5. ${\displaystyle Alt(g\otimes f)=(-1)^{pq}Alt(f\otimes g)}$ pentru ${\displaystyle f\in T^{p}(V^{*})}$ și ${\displaystyle g\in T^{q}(V^{*}).}$

Definiție. Dacă ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} ,}$ produsul exterior a doi tensori alternați ${\displaystyle f\in \Lambda ^{p}(V^{*})}$ și ${\displaystyle g\in \Lambda ^{q}(V^{*})}$ este tensorul alternat ${\displaystyle f\wedge g\in \Lambda ^{p+q}(V^{*})}$ definit prin:

${\displaystyle f\wedge g={\frac {(p+q)!}{p!q!}\cdot Alt(f\otimes g)={\frac {1}{p!q!}\sum _{\sigma \in S_{p+q}\varepsilon (\sigma )\sigma (f\otimes g).}$

Când ${\displaystyle p=0,\;f=c\in \mathbb {R} }$ și se pune ${\displaystyle c\wedge g=cg;}$ în mod similar se tratează cazul ${\displaystyle q=0.}$ Produsul exterior este o operație biliniară, asociativă și, în plus, anticomutativă, adică ${\displaystyle f\wedge g=(-1)^{pq}g\wedge p}$ dacă ${\displaystyle f}$ este de grad ${\displaystyle p}$ și ${\displaystyle g}$ de grad ${\displaystyle q;}$ în particular, ${\displaystyle f\wedge f=0}$ când ${\displaystyle f}$ este de grad impar. Se observă că dacă ${\displaystyle f_{1},f_{2},\cdots ,f_{N}$ sunt tensori alternați pe ${\displaystyle V}$ de grade ${\displaystyle p_{1},p_{2},\cdots ,p_{N}$ respectiv, atunci:

${\displaystyle f_{1}\wedge f_{2}\wedge \cdots \wedge f_{N}={\frac {(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{N})!}{p_{1}!p_{2}!\cdots p_{N}!}\cdot Alt(f_{1}\otimes f_{2}\otimes \cdots \otimes f_{N}).}$

Produsul exterior se extinde prin liniaritate la o înmulțire pe spațiul vectorial ${\displaystyle \Lambda (V^{*})}$ și face din acest spațiu vectorial o ${\displaystyle \mathbb {R} }$-algebră, numită algebra Grassmann a lui ${\displaystyle V^{*}.}$

Teorema bazei. Dacă ${\displaystyle f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n}$ este un reper al lui ${\displaystyle V^{*}$, atunci produsele exterioare de forma ${\displaystyle f_{i_{1}\wedge f_{i_{2}\wedge \cdots \wedge f_{i_{p}$ cu ${\displaystyle 1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq \cdots \leq i_{p}\leq n}$ formează un reper în spațiul vectorial ${\displaystyle \Lambda ^{p}(V^{*})}$; în particular acest spațiu vectorial are dimensiunea ${\displaystyle C_{n}^{p}={\frac {n!}{p!(n-p)!}$ când ${\displaystyle 0\leq p\leq n}$ și ${\displaystyle C_{n}^{p}:=0}$ când ${\displaystyle p>n}$, deci spațiul vectorial ${\displaystyle \Lambda (V^{*})}$ este de dimensiune ${\displaystyle 2^{n}.}$

Dacă ${\displaystyle W}$ este un alt spațiu vectorial de dimensiune finită, se asociază fiecărei aplicații liniare ${\displaystyle A:W\to V}$ un morfism de ${\displaystyle \mathbb {R} -}$algebre ${\displaystyle A^{*}:\Lambda (V^{*})\to \Lambda (W^{*})}$ definit, pentru orice ${\displaystyle f\in \Lambda ^{p}(V^{*})}$, prin ${\displaystyle A^{*}(f):=f\circ A^{p}$, unde ${\displaystyle A^{p}:=A\times A\times \cdots \times A}$ (de p ori), când ${\displaystyle p\ ge1}$ și ${\displaystyle A^{*}(f):=f}$ când ${\displaystyle p=0}$; tensorul alternant ${\displaystyle A^{*}(f)}$ are același grad cu ${\displaystyle f}$ și se numește imaginea inversă a lui f prin aplicația liniară ${\displaystyle A.}$ Aplicațiile ${\displaystyle V\mapsto \Lambda (V^{*})}$ și ${\displaystyle \mapsto A^{*}$ definesc un vector contravariant de la spații vectoriale de dimensiune finită la ${\displaystyle \mathbb {R} -}$algebre.

Teorema determinantului'. Dacă ${\displaystyle A}$ este un endomorfism al lui ${\displaystyle V,}$ atunci pentru orice n-tensor alternant f pe ${\displaystyle V,}$ unde n este dimensiunea lui ${\displaystyle V}$, există relația: ${\displaystyle A^{*}(f)=det(A)f.}$

Având în vedere că determinantul ${\displaystyle detA}$ al unui endomorfism ${\displaystyle A}$ al lui ${\displaystyle V}$ se definește folosind un reper al lui ${\displaystyle V}$ care identifică ${\displaystyle V}$ cu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ (definiție care nu depinde de alegerea acestui reper), se poate realiza o construcție a algebrei exterioare a lui ${\displaystyle V}$ astfel:

Fie ${\displaystyle V^{**}:=Hom(V^{*},\mathbb {R} )}$ dualul lui ${\displaystyle V^{*}$; aplicația ${\displaystyle V\ni v\mapsto v^{**}\in V^{**}$, definită prin ${\displaystyle v^{**}(f):=f(v)}$ pentru ${\displaystyle f\in V^{*}$, este un izomorfism de spații vectoriale. Acest izomorfism se utilizează pentru a identifica spațiile vectoriale ${\displaystyle V}$ și ${\displaystyle V^{**}$.

Vom defini deci algebra exterioară a lui ${\displaystyle V}$ punând ${\displaystyle \Lambda ^{p}(V):=\Lambda ^{p}(V^{**})}$ pentru orice ${\displaystyle p\geq 0}$ și deci ${\displaystyle \Lambda (V):=\Lambda (V^{**})}$. Aplicația canonică ${\displaystyle \theta :V^{*p}\to \Lambda ^{p}(V^{*})}$ definită prin ${\displaystyle \theta (f_{1},f_{2},\cdots ,f_{p})=f_{1}\wedge f_{2}\wedge \cdots \wedge f_{p}$ este p-liniară alternantă, adică:

${\displaystyle \theta (f_{\sigma (1)},f_{\sigma (2)},\cdots ,f_{\sigma (p)})=\varepsilon (\sigma )\theta (f_{1},f_{2},\cdots ,f_{p}),}$

pentru orice ${\displaystyle f_{1},f_{2},\cdots ,f_{p}\in V^{*}$ și ${\displaystyle \sigma \in S_{p}$, iar aplicația ${\displaystyle \theta ^{*}:\Lambda ^{p}(V^{*})^{*}\to \Lambda ^{p}({\dot {V}),}$ definită prin ${\displaystyle \varphi '\mapsto \varphi \circ \theta ,\;\varphi \in \Lambda ^{p}(V^{*})^{*}$, este un izomorfism de spații vectoriale. Astfel spațiul vectorial ${\displaystyle \Lambda ^{p}(V)}$ cu canonic izomorf cu dualul spațiului vectorial ${\displaystyle \Lambda ^{p}(V^{*}).}$

Există construcții mai generale care permit definirea algebrei tensoriale ${\displaystyle T(M)}$ și a algebrei exterioare ${\displaystyle \Lambda (M)}$ pentru orice ${\displaystyle A-}$ modul ${\displaystyle M,}$ unde ${\displaystyle A}$ este un inel comutativ cu element unitate, în rest arbitrar.

Se pot construi puterea exterioară ${\displaystyle \Lambda ^{p}(V)}$ și algebra exterioară ${\displaystyle \Lambda (V)}$ pentru un spațiu vectorial complex finit dimensional ${\displaystyle V}$ după modelul prezentat anterior în cazul real.

• Romulus Cristescu, Dicționar de analiză matematică, Editura Științifică și Enciclopedică, 1989