Câmp scalar

În analiza matematică, un câmp scalar este o funcție de mai multe variabile care asociază fiecărui punct al unui domeniu dintr-un spațiu euclidian un număr real, deci este o funcție scalară:

${\displaystyle \varphi :D\to \mathbb {R} ,\;\varphi (P)=\varphi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),\;(\forall )P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in D,}$

unde  ${\displaystyle D\subseteq E^{n}.}$

Dându-se un punct fix  ${\displaystyle P_{0},}$  suprafața de ecuație:

${\displaystyle \varphi (P)=\varphi (P_{0})}$

se numește suprafață de nivel a câmpului  ${\displaystyle \varphi (P),}$  atașată punctului  ${\displaystyle P_{0}.}$

Se consideră câmpul scalar tridimensional definit prin  ${\displaystyle \varphi ({\vec {r})={\vec {a}\cdot {\vec {r},}$  unde  ${\displaystyle {\vec {a}$  este un vector unitar constant, iar  ${\displaystyle {\vec {r}$  este vectorul de poziție al punctului curent din spațiu.

Atunci suprafețele de nivel ale câmpului sunt date de ecuația:

${\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {r}=C,}$

unde C este o constantă. Aceste suprafețe sunt plane perpendiculare pe  ${\displaystyle {\vec {a}.}$ 

De exemplu, suprafața de nivel care trece prin punctul  ${\displaystyle A(1,2,3)}$  este planul perpendicular pe  ${\displaystyle {\vec {a}$  și care are ecuația:

${\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {r}={\vec {a}\cdot {\vec {b},}$  unde  ${\displaystyle {\vec {b}={\vec {i}+2{\vec {j}+3{\vec {k}.}$ 

Fie o curbă  ${\displaystyle (\Gamma )}$  care trece printr-un punct  ${\displaystyle P_{0}.}$  Dacă există limita:

${\displaystyle \lim _{P\to P_{0}{\frac {\varphi (P)-\varphi (P_{0})}{l_{P_{0}P}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}\right)_{P_{0}$

valoarea acesteia se numește derivata câmpului scalar după direcția de versor  ${\displaystyle {\vec {t}$  în punctul  ${\displaystyle P_{0},}$ 

unde  ${\displaystyle {\vec {t}$  este versorul tangentei la curbă, în punctul P, iar  ${\displaystyle l_{P_{0}P}$  este abscisa curbilinie a punctului  ${\displaystyle P}$  față de  ${\displaystyle P_{0}.}$ 

Notând cu  ${\displaystyle {\vec {n}$  versorul normalei la suprafața de nivel care trece prin  ${\displaystyle P_{0}$  și cu  ${\displaystyle \theta }$  unghiul dintre  ${\displaystyle {\vec {t}$  și  ${\displaystyle {\vec {n},}$  există relația:

${\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}\right)_{P_{0}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}\cdot \cos \theta .\right)_{P_{0}$

Astfel, într-un spațiu tridimensional:

${\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}\right)_{P_{0}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}\right)^{2}.}$

Dacă  ${\displaystyle \varphi _{h}(P),\;(h=1,2,\cdots ,n),}$  sunt funcții diferențiabile și la fel și funcția  ${\displaystyle F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n}),}$  atunci:

${\displaystyle {\frac {dF}{d{\vec {t}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}\cdot {\frac {\partial \varphi _{h}{\partial {\vec {t}.}$

Pentru calculul derivatei lui  ${\displaystyle \Phi =x^{2}yz+4xz^{2}$  în punctul  ${\displaystyle A(1,2,-1)}$  și după direcția  ${\displaystyle 2{\vec {i}-{\vec {j}-2{\vec {k}$  se fac calculele:

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }\Phi ={\overrightarrow {\nabla }(x^{2}yz+4xz^{2})=(2xyz+4z^{2}){\vec {i}+x^{2}z{\vec {j}+(x^{2}y+8xz){\vec {k},}$

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }\Phi _{A}=0{\vec {i}-{\vec {j}-6{\vec {k}.}$

Vectorul unitar în direcția  ${\displaystyle 2{\vec {i}-{\vec {j}-2{\vec {k}$  este:

${\displaystyle {\vec {a}={\frac {2{\vec {i}-{\vec {j}-2{\vec {k}{\sqrt {2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}={\frac {2}{3}{\vec {i}-{\frac {1}{3}{\vec {j}-{\frac {2}{3}{\vec {k}.}$

Deci:

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }\Phi \cdot {\vec {a}=(0{\vec {i}-{\vec {j}-6{\vec {k})\cdot \left({\frac {2}{3}{\vec {i}-{\frac {1}{3}{\vec {j}-{\frac {2}{3}{\vec {k}\right)={\frac {13}{3}.}$

Dacă  ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$  sunt componentele versorului  ${\displaystyle {\vec {t},}$  în cazul unui spațiu tridimensional:

${\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}\right)_{P_{0}=\alpha {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}+\beta {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}+\gamma {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}.}$

Vectorul de componente  ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0},{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0},{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}$  se numește gradientul câmpului scalar diferențiabil  ${\displaystyle \varphi (P)}$  în punctul  ${\displaystyle P_{0}\in D}$  și se notează  ${\displaystyle (grad\;\varphi )_{P_{0}.}$ 

Există relațiile:

${\displaystyle grad\;\varphi ={\frac {d\varphi }{d{\vec {n}\cdot {\vec {n}$

${\displaystyle grad\;F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n})=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}\cdot grad\;\varphi _{h}.}$

Operatorul diferențial vectorial:

${\displaystyle {\vec {\nabla }=={\vec {i}{\partial \over \partial x}+{\vec {j}{\partial \over \partial y}+{\vec {k}{\partial \over \partial z}$

se numește nabla sau operatorul Hamilton.

Deci:

${\displaystyle grad\;\varphi ={\vec {\nabla }\varphi ,\;\;{\frac {d\varphi }{d{\vec {t}=\left({\vec {t}\cdot {\overrightarrow {\nabla }\right)\cdot \varphi .}$

Fie  ${\displaystyle {\vec {u}$  un vector de mărime u și versor  ${\displaystyle {\vec {u}_{0},}$  adică  ${\displaystyle {\vec {u}=u\cdot {\vec {u}_{0}.}$  Dacă se notează  ${\displaystyle {\vec {u}\cdot {\overrightarrow {\nabla }=u\left({\vec {u}_{0}\cdot {\dot {\nabla }\right)}$  atunci expresia:

${\displaystyle \left({\vec {u}\cdot {\overrightarrow {\nabla }\right)\varphi =u\cdot {\frac {d\varphi }{d{\vec {u}_{0}$

se numește derivata funcției  ${\displaystyle \varphi (P)}$  în raport cu vectorul  ${\displaystyle {\vec {u}.}$

• Câmp vectorial