n |
n sin(1/n)
|
1 |
0.841471
|
2 |
0.958851
|
...
|
10 |
0.998334
|
...
|
100 |
0.999983
|
Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.
Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice reale, fiind un caz particular al conceptului de limită.
Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.
Istoric
Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.
Definiție
- Pentru un șir de numere reale
![{\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106b9f21ed0df67d103c473f2af98059abd35fe2)
- Un număr real L se numește limita șirului xn, notându-se sub forma:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596cb427c1e88631d1eed5050aa84f6bb3192a80)
- dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |xn−L| < ε.
- Un element
este numit limita șirului și se notează:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596cb427c1e88631d1eed5050aa84f6bb3192a80)
- dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, d(xn,L) < ε.
Exemple
- Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
- Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
- Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul an are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a1/n are limita 1.
De asemenea:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}=0{\hbox{, dacă }p>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd10d7fd7377ee67df61e8eb3f7fd3f3a5145aee)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{n}=0{\hbox{, dacă }|a|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a30ee45ab63def09e2a77fd222d4258a93abd3)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984213a84e403b840ffb99c93d2c19686bc8e1af)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}=1{\hbox{, dacă }a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5435b433c569498824a1bfc96548772d4792c0)
Cazul șirurilor de funcții
Definiție.
Fie
un șir de funcții,
Se spune că șirul
este punctual convergent pe
către f pentru
și se scrie
dacă
(în
) pentru
Definiție.
Un șir
de funcții
se numește uniform convergent pe
către o funcție
și se scrie
dacă este îndeplinită următoarea condiție:
natural astfel încât
să existe relația
pentru ![{\displaystyle \forall x\in [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3866b5191d61c0aad288de073fa36615c054e1df)
Teoremă.
- (a) Un șir
de funcții mărginite,
(adică:
) este uniform convergent către o funcție
dacă și numai dacă ![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3837c35b96e5b5115736ccd0d7429cb98756443e)
- (b) Orice șir de funcții
uniform convergent pe
este punctual convergent pe
reciproca este falsă.
Exemplu
Fie
și
Evident
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }={\begin{cases}0,&daca\;x\in [0,1)\\1,&daca\;x=1\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4994e01308c8e12cd53fc949e2009cd43b039bc5)
adică
unde:
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&daca\;x\in [0,1)\\1,&daca\;x=1\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2ab39f1b7d0329f8a2e05cea42aff4b2f63fcb)
Dar
deci
Așadar, șirul
este
dar nu este
pe
Vezi și
Legături externe