Teorema idealului principal

În matematică teorema idealului principal^[1] a teoriei corpurilor de clase^⁠(d), o ramură a teoriei algebrice a numerelor^⁠(d), spune că extensia idealelor oferă o aplicație pe grupul de clase^⁠(d) dintr-un corp de numere^⁠(d) către grupul de clase al corpului său de clase Hilbert, care trimite toate clasele idealelor la clasa unui ideal principal. Fenomenul a mai fost numit principalizare.

Descriere formală

Pentru orice corp de numere K și orice ideal I al inelului numerelor întregi al lui K, dacă L este corpului de clase Hilbert al lui K, atunci

${\displaystyle IO_{L}\ }$

este un ideal principal αO_L, pentru O_L inelul întregilor lui L și niște elemente α din el.

Istoric

Teorema idealului principal a fost conjecturată de David Hilbert^[2] și a fost ultimul aspect al programului său privind corpurile de clase, finalizat în 1929.

Emil Artin^[3] a redus teorema idealului principal la o întrebare despre grupurile abeliene finite: el a arătat că ar urma că transferul de la un grup finit la subgrupul său derivat ar fi trivial. Acest rezultat a fost demonstrat de Philipp Furtwängler (1929).

Note

Bibliografie

• de Artin, Emil (1927), „Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 5 (1): 353–363, doi:10.1007/BF02952531 
• de Artin, Emil (1929), „Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 7 (1): 46–51, doi:10.1007/BF02941159 
• de Furtwängler, Philipp (1929). „Beweis des Hauptidealsatzes fur Klassenkörper algebraischer Zahlkörper”. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 7: 14–36. doi:10.1007/BF02941157. JFM 55.0699.02. 
• en Gras, Georges (2003). Class field theory. From theory to practice. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44133-6. Zbl 1019.11032. 
• de Hilbert, David (1902) [1898], „Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper”, Acta Mathematica, 26 (1): 99–131, doi:10.1007/BF02415486  
• en Koch, Helmut (1997). Algebraic Number Theory. Encycl. Math. Sci. 62 (ed. 2nd printing of 1st). Springer-Verlag. p. 104. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044. 
• en Serre, Jean-Pierre (1979). Local Fields. Graduate Texts in Mathematics. 67. Tradus de Greenberg, Marvin Jay. Springer-Verlag. pp. 120–122. ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016.