Алгебра над полем

Алгебра над полем — векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.

Определение

Пусть ${\displaystyle A}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, снабжённое операцией ${\displaystyle A\times A\to A}$, называемой умножением. Тогда ${\displaystyle A}$ является алгеброй над ${\displaystyle K}$, если для любых ${\displaystyle x,y,z\in A,\;a,b\in K}$ выполняются следующие свойства:

• ${\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z}$
• ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$
• ${\displaystyle (ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)}$.

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:

Алгебра с единицей над полем ${\displaystyle K}$ — это кольцо с единицей ${\displaystyle A}$, снабжённое гомоморфизмом колец с единицей ${\displaystyle f:K\to A}$, таким, что ${\displaystyle f(K)}$ принадлежит центру кольца ${\displaystyle A}$ (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что ${\displaystyle A}$ является векторным пространством над ${\displaystyle K}$ со следующей операцией умножения на скаляр ${\displaystyle \alpha \in K}$: ${\displaystyle \alpha x=f(\alpha )\cdot x}$.

Связанные определения

• Гомоморфизм ${\displaystyle K}$-алгебр — это ${\displaystyle K}$-линейное отображение, такое что ${\displaystyle f(ab)=f(a)\cdot f(b)}$ для любых ${\displaystyle a,b}$ из области определения.
• Подалгебра алгебры над полем ${\displaystyle K}$ — это линейное подпространство, такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит. Другими словами, подалгеброй ${\displaystyle U}$ линейной алгебры ${\displaystyle R}$ над полем ${\displaystyle P}$ называется её подмножество если оно является подкольцом кольца ${\displaystyle R}$ и подпространством линейного пространства ${\displaystyle R}$^[1].
  • Элемент алгебры называется алгебраическим, если он содержится в конечномерной подалгебре.
  • Алгебра называется алгебраической, если все её элементы алгебраические.^[2]

• Левый идеал ${\displaystyle K}$-алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
• Алгебра с делением — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов ${\displaystyle a\neq 0}$ и ${\displaystyle b}$ уравнения ${\displaystyle ax=b}$ и ${\displaystyle ya=b}$ разрешимы^[3]. В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом.
• Центр алгебры ${\displaystyle A}$ — это множество элементов ${\displaystyle a\in A}$, таких что ${\displaystyle xa=ax}$ для любого элемента ${\displaystyle x\in A}$.

Примеры

Ассоциативные алгебры

• Комплексные числа естественным образом являются двумерной алгеброй над вещественными числами.
• Кватернионы являются четырёхмерной алгеброй над вещественными числами.
• Предыдущие два примера являются полем и телом соответственно, и это не случайно: любая конечномерная алгебра над полем, не имеющая делителей нуля, является алгеброй с делением. Действительно, умножение на ${\displaystyle x}$ слева является линейным преобразованием этой алгебры как векторного пространства, у этого преобразования нулевое ядро (так как ${\displaystyle x}$ не является делителем нуля), следовательно, оно сюръективно; в частности, существует прообраз произвольного элемента ${\displaystyle b}$, то есть такой элемент ${\displaystyle y}$, что ${\displaystyle xy}$ = ${\displaystyle b}$. Второе условие доказывается аналогично.
• Коммутативная (и бесконечномерная) алгебра многочленов ${\displaystyle K[x]}$.
• Алгебры функций, такие как ${\displaystyle \mathbb {R} }$-алгебра вещественнозначных непрерывных функций, определённых на интервале (0, 1), или ${\displaystyle \mathbb {C} }$-алгебра голоморфных функций, определённых на зафиксированном открытом подмножестве комплексной плоскости.
• Алгебры линейных операторов на гильбертовом пространстве.

Неассоциативные алгебры

• Алгебры Кэли, или октавы.
• Общие алгебры Ли.
• Йордановы алгебры.
• Альтернативные алгебры.

Структурные коэффициенты

Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем ${\displaystyle K}$ достаточно указать её размерность ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle n^{3}$ структурных коэффициентов ${\displaystyle c_{i,j,k}$, являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}$

где ${\displaystyle (e_{1},e_{2},\ldots e_{n})}$ — некоторый базис ${\displaystyle A}$. Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

Если ${\displaystyle K}$ — только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра ${\displaystyle A}$ является свободным модулем.

См. также

• Дифференциальная алгебра
• Тензорное произведение алгебр

Примечания

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.