Внешняя алгебра

Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством ${\displaystyle V}$ обычно обозначается ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }V}$. Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.

Внешней алгеброй ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }V}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры ${\displaystyle T(V)}$ по двустороннему идеалу ${\displaystyle I}$, порождённому элементами вида ${\displaystyle x\otimes x,x\in V}$:

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }V=T(V)/I}$.

Если характеристика поля ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$, то идеал ${\displaystyle I}$ в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида ${\displaystyle x\otimes y+y\otimes x}$.

Умножение ${\displaystyle \wedge }$ в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

k-й внешней степенью пространства ${\displaystyle V}$ называют векторное пространство ${\displaystyle \wedge ^{k}V}$, порождённое элементами вида

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k,}$

причём ${\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}\,}$ и ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$ = { 0 } при k > n.

Если ${\displaystyle \dim V=n}$ и { e₁, …, e_n } — базис ${\displaystyle V}$, то базисом ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$ является множество

${\displaystyle \{\,e_{i_{1}\wedge e_{i_{2}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}~{\big |}~~k=1,2,\cdots ,n~~{\text{ и }~~1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n\,\}.}$

Тогда

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V),}$

причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку: если ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{k}\left(V\right)}$ и ${\displaystyle \beta \in {\textstyle \bigwedge }^{p}\left(V\right)}$, то

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in {\textstyle \bigwedge }^{k+p}\left(V\right).}$

• Элементы пространства ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{r}V}$ называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над ${\displaystyle V,}$ с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
  • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:

    ${\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.}$

  • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу

    ${\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.}$

• Внешний квадрат произвольного вектора ${\displaystyle \omega \in \wedge ^{1}V}$ нулевой:

${\displaystyle \omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.}$

• Для r-векторов при чётном r это неверно. Например

${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.}$

• Линейно независимые системы из ${\displaystyle r}$-векторов ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}$ и ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{r}$ из ${\displaystyle V}$ порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда ${\displaystyle r}$-векторы ${\displaystyle x_{1}\wedge \dots \wedge x_{r}$ и ${\displaystyle y_{1}\wedge \dots \wedge y_{r}$ пропорциональны.

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
• Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.
• Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — М.: Наука, 1977.

• Алгебра Клиффорда
• Тензорная алгебра
• Симметрическая алгебра
• Поливектор