Группа Гейзенберга

Кусок графа Кэли дискретной группы Гейзенберга .

Группа Гейзенбергагруппа, состоящая из квадратных матриц вида

где элементы a, b, c принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца R чаще всего берется:

  • кольцо вещественных чисел — так называемая непрерывная группа Гейзенберга, обозначается , или
  • кольцо целых чисел — так называемая дискретная группа Гейзенберга, обозначается , или
  • кольцо вычетов с простым числом p — группа обозначается .

Названа в честь Вернера Гейзенберга, который использовал эту группу в квантовой механике: непрерывная группа Гейзенберга используется для описания одномерных квантово-механических систем.

Алгебра Гейзенберга

Алгебра Ли группы Гейзенберга (над полем вещественных чисел) известна как алгебра Гейзенберга. Она может быть реализована в пространстве матриц 3×3 вида [1]

где .

Следующие три матрицы образуют базис для ,

И удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

.

Название "Группа Гейзенберга" мотивируется тем, что соотношения имеют ту же форму, что и каноническое коммутационное соотношение в квантовой механике [2],

где — оператор координаты, — оператор импульса, и постоянная Планка.


Вариации и обобщения

Группа Гейзенберга обобщается на любое число измерений. Именно, группа Гейзенберга состоит из квадратных матриц порядка n+2:

элементы принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей.

Непрерывная группа Гейзенберга представляет собой связную, односвязную группу Ли (с топологией, порожденной стандартной топологией ), алгебра Ли которой (размерности 2n+1) состоит из матриц вида

Примечания

Литература