Конгруэнция

Конгруэнцией в общей алгебре называют отношение эквивалентности на алгебраической структуре (такой как группа, кольцо или векторное пространство), согласующееся с алгебраическими операциями, определёнными на указанной структуре. Согласованность означает, что выполнение операций над эквивалентными (относительно конгруэнции) элементами структуры даст также эквивалентные элементы. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую фактор-структуру со сходными операциями, носителем которой будет фактормножество, чьи элементы — классы эквивалентности исходной структуры по отношению к конгруэнции.

Основным примером конгруэнции является отношение сравнимости по модулю на множестве целых чисел. При заданном натуральном n (называемом модулем) говорят, что два целых числа a и b сравнимы по модулю n, если разность a – b делится на n или, что равносильно, a и b дают при делении на n равные остатки. Если числа a и b сравнимы по некоторому модулю n это обозначается a ≡ b (mod n). Например, числа 37 и 57 сравнимы по модулю 10 (37 ≡ 57 (mod 10)), поскольку 37 – 57 = −20 делится на 10 (это эквивалентно тому, что 37 и 57 дают при делении на 10 один и тот же остаток 7). Свойства сравнимости по модулю показывают, что, во-первых, сравнимость — отношение эквивалентности, и, во-вторых, что оно согласовано как со сложением так и с умножением целых чисел: если a1 ≡ b1 (mod n) и a2 ≡ b2 (mod n), то a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) и a1 · a2 ≡ b1 · b2 (mod n) для любых целых a1 , a2 , b1 , b2. Это значит, что над соответствующими классами эквивалентности — классами вычетов (по модулю n) — также выполнимы операции сложения и умножения, составляющие так называемую модульную арифметику: [a]n + [b]n = [a + b]n , [a]n · [b]n = [a · b]n ([x]n — класс целых чисел, сравнимых с числом x по модулю n). С точки зрения абстрактной алгебры это будет звучать так: сравнимость по модулю n есть конгруэнция на кольце целых чисел , порождающая фактор-кольцо  — конечное кольцо вычетов по модулю n, — на котором выполняются операции модульной арифметики.

Определение

Отношение на множестве называется стабильным относительно -арной операции , определённой на этом множестве, если для любых элементов () множества из истинности отношений () вытекает истинность отношения .

Отношение называется конгруэнцией на алгебраической системе , если оно стабильно относительно каждой главной операции системы . (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы .)

Факторсистема

Для алгебраической системы на фактормножестве по конгруэнции для всех операций и отношений естественным образом вводятся операции и отношения над соответствующими классами смежности:

,
.

Получающаяся система обозначается и называется факторсистемой, а отображение , определяемое правилом  — каноническим эпиморфизмом.

Множество всех конгруэнций данной системы образует полную решётку относительно операций объединения и пересечения, а также задает отношение включения:

.

Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы имеет место следующий результат (теорема Ремака): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:

.

Литература

  • Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Мальцев, А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.