Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой.
Различают криволинейный интеграл первого рода, в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой, и второго рода — где вектор-функцияскалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением.
где r — радиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой При этом не играет роли, что больше — b или a.[1]
Интегрируемая функция
Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой или
Разбиение
Разбиение отрезка параметризации
Пусть дано разбиениеотрезка (или ) то есть множество где:
если
или если
Мелкостью этого разбиения называется число обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.
Введём набор промежуточных точек разбиения — точек каждая из которых лежит между и ().
Разбиение кривой
Зададим разбиениекривой которое соответствует разбиению отрезка параметризации.
За обозначим часть кривой от значения параметра до значения где
Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек каждая из которых лежит на ().
Интегральные суммы
Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки разбиение и участки кривой Рассмотрим две интегральные суммы:
Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции () по кривой Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция () интегрируема по кривой Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:
где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr.
Если кривая замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка принято писать
Криволинейный интеграл первого рода
Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле
Свойства
Линейность:
Аддитивность: если и пересекаются в одной точке, то
Монотонность: если на , то
Теорема о среднем: при непрерывности функции на для интеграла возможно подобрать такую точку что
или, что то же самое,
Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:
Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
Вычисление
Пусть — гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой Тогда в общем случае
Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле
Свойства
1. Линейность:
2. Аддитивность:
3.
Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.
Вычисление
Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении) и наделённая направлением от A до B. Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой Тогда
а при изменении обхода кривой:
Взаимосвязь криволинейных интегралов
Если обозначить за единичный вектор касательной к кривой который имеет то же направление, в каком параметризирована сама кривая, то взаимосвязь между криволинейными интегралами такова:
В терминах самих интегралов это выглядит так:
где — гладкая, спрямляемая кривая, наделённая направлением, а вектор-функция интегрируема на ней.
В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы, если воспользоваться определением скалярного произведения:
Тогда, раскладывая скалярное произведение в по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так: