Матрица расстояний

Матрица расстояний — это квадратная матрица типа «объект-объект» (порядка n), содержащая в качестве элементов расстояния между объектами в метрическом пространстве.

Свойства матрицы являются отражением свойств самих расстояний^[1]:

1. симметричность относительно диагонали, то есть ${\displaystyle d_{ij}=d_{ji}$;
2. отражение свойства тождественности расстояния ${\displaystyle d_{ij}=0\Leftrightarrow i=j}$ в матрице расстояний проявляется в наличии 0 по диагонали матрицы, так как расстояние объекта с самим собой очевидно равно 0, а также в наличии нулевых значений для абсолютно сходных объектов;
3. значения расстояний в матрице всегда неотрицательны ${\displaystyle d_{ij}\geqslant 0}$
4. неравенство треугольника принимает форму ${\displaystyle d_{ij}+d_{jk}\geqslant d_{ik}$ для всех ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$ и ${\displaystyle k}$.

В общем виде матрица выглядит так:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\cdots &d_{1j}&\cdots &d_{1n}\\\vdots &\cdots &\vdots &\cdots &\vdots \\d_{i1}&\cdots &d_{ij}&\cdots &d_{in}\\\vdots &\cdots &\vdots &\cdots &\vdots \\d_{n1}&\cdots &d_{nj}&\cdots &0\\\end{bmatrix}$

В широком смысле расстояния являются отражением такого понятия как различие, что двойственно понятию сходства, а элементы матрицы различия (в общем виде — матрицы дивергенций) двойственны элементам матрицы сходства (в общем виде — матрицы конвергенций). Связь между мерой сходства и мерой различия можно записать как ${\displaystyle F=1-K}$, где F — мера различия; K — мера сходства. Следовательно, все свойства мер сходства можно экстраполировать на соответствующие им меры различия с помощью простого преобразования и наоборот.
Визуально отношения между объектами можно представить с помощью графовых алгоритмов кластеризации. Можно сказать, что расстояния используются намного чаще, чем меры сходства: их чаще реализуют в статистических программах (Statistica, SPSS и др.) в модуле кластерного анализа.

Известно^[2], что существует обобщённая мера расстояний, предложенная Германом Минковским:

${\displaystyle d_{ij}=\left[\sum _{k=1}^{n}\left|x_{ik}-x_{jk}\right|^{p}\right]^{\frac {1}{p}.}$

В вышеуказанное семейство расстояний входит:

• при p = 1 — «манхэттенское расстояние» («расстояние городских кварталов», англ. city-block), или «${\displaystyle l}$-норма». Обобщённая мера Хэмминга^[3][4] в теоретико-множественной записи (после нормировки) может быть представлена как ${\displaystyle d_{ij}=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)}$ и являться двойственной мере абсолютного сходства.
• при p = 2 — расстояние Евклида. Часто используется и квадрат этого расстояния.
• при p → ∞ — sup-метрика, или метрика «доминирования». Также известна как расстояние Чебышёва.

Существуют используемые расстояния и вне данного семейства. Наиболее известным является расстояние Махаланобиса.

Также интересно в качестве удачной иллюстрации связи мер сходства и различия расстояние Юрцева, двойственное мере сходства Браун-Бланке^[5]:

${\displaystyle F_{\text{Yu}=1-K_{\text{B-B}=1-{\frac {n(A\cap B)}{\max {\big (}n(A),n(B){\big )}={\frac {n(A)+n(B)-2n(A\cap B)+|n(A)-n(B)|}{n(A)+n(B)+|n(A)-n(B)|}.}$

На плоскости расположено шесть различных точек (см. изображение). В качестве метрики выбрано расстояние Евклида в пикселях.

Соответствующая матрица расстояний будет равна

Полученную матрицу можно изобразить в виде тепловой карты. Здесь более тёмный цвет соответствует меньшему расстоянию между точками.