Распределение Рэлея
Распределение Рэлея Плотность вероятности Функция распределения
Параметры
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
Носитель
x
∈
[
0
;
∞
)
{\displaystyle x\in [0;\infty )}
Плотность вероятности
x
σ
2
exp
(
−
x
2
2
σ
2
)
{\displaystyle {\frac {x}{\sigma }^{2}\exp \left(-{\frac {x}^{2}{2{\sigma }^{2}\right)}
Функция распределения
1
−
exp
(
−
x
2
2
σ
2
)
{\displaystyle 1-\exp \left({\frac {-x^{2}{2\sigma ^{2}\right)}
Математическое ожидание
π
2
σ
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}\sigma }
Медиана
σ
ln
(
4
)
{\displaystyle \sigma {\sqrt {\ln(4)}
Мода
σ
{\displaystyle \sigma }
Дисперсия
(
2
−
π
/
2
)
σ
2
{\displaystyle \left(2-\pi /2\right){\sigma }^{2}
Коэффициент асимметрии
2
π
(
π
−
3
)
(
4
−
π
)
3
/
2
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}
Коэффициент эксцесса
−
6
π
2
−
24
π
+
16
(
4
−
π
)
2
{\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}
Дифференциальная энтропия
1
+
ln
(
σ
2
)
+
γ
2
{\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}\right)+{\frac {\gamma }{2}
Производящая функция моментов
1
+
σ
t
e
σ
2
t
2
/
2
π
2
(
erf
(
σ
t
2
)
+
1
)
{\displaystyle 1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}\left({\textrm {erf}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}\right)\!+\!1\right)}
Характеристическая функция
1
−
σ
t
e
−
σ
2
t
2
/
2
π
2
(
erfi
(
σ
t
2
)
−
i
)
{\displaystyle 1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}\!\left({\textrm {erfi}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}\right)\!-\!i\right)}
Распределение Рэлея — распределение вероятностей случайной величины
X
{\displaystyle \displaystyle X}
f
(
x
;
σ
)
=
x
σ
2
exp
(
−
x
2
2
σ
2
)
,
x
⩾
0
,
σ
>
0
,
{\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {x^{2}{2\sigma ^{2}\right),x\geqslant 0,\sigma >0,}
где
σ
{\displaystyle \displaystyle \sigma }
функция распределения имеет вид
P
(
X
⩽
x
)
=
∫
0
x
f
(
ξ
)
d
ξ
=
1
−
exp
(
−
x
2
2
σ
2
)
,
x
⩾
0.
{\displaystyle {\mathsf {P}(X\leqslant x)=\int \limits _{0}^{x}f(\xi )\,d\xi =1-\exp \left(-{\frac {x^{2}{2\sigma ^{2}\right),x\geqslant 0.}
Введено впервые в 1880 г. Джоном Уильямом Стреттом (лордом Рэлеем) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со случайными фазами.
В задачах о пристрелке пушек. Если отклонения от цели для двух взаимно перпендикулярных направлений нормально распределены и некоррелированы, координаты цели совпадают с началом координат, то, обозначив разброс по осям как
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
R
=
X
2
+
Y
2
{\displaystyle R={\sqrt {X}^{2}+{Y}^{2}
R
{\displaystyle R}
В радиотехнике для описания амплитудных флуктуаций радиосигнала.
Если
X
{\displaystyle {X}
Y
{\displaystyle {Y}
гауссовские случайные величины , имеющие нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии
σ
2
{\displaystyle {\sigma }^{2}
Z
=
X
2
+
Y
2
{\displaystyle Z={\sqrt {X}^{2}+{Y}^{2}
Если независимые гауссовские случайные величины
X
{\displaystyle {X}
Y
{\displaystyle {Y}
распределение Райса .
Плотность распределения квадрата рэлеевской величины с
σ
=
1
{\displaystyle {\sigma =1}
распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы.
Распределение Рэлея заменой переменной сводится к гамма-распределению .
Дискретные Абсолютно
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd
Плотность вероятности 
Функция распределения 
