Пусть — измеримое пространство, — гильбертово пространство, — множество всех ортогональных проекторов в .
Отображение называется спектральной мерой, если удовлетворяет следующим условиям:
Счетная аддитивность: если - конечный или счётный набор попарно непересекающихся множеств и , то -
Полнота:
Здесь под - и - понимается предел (соотв. сумма ряда) относительно сильной операторной топологии. Например, - означает, что . Для обозначения равномерной операторной сходимости (т.е. сходимости по операторной норме) мы пишем -.
С каждой спектральной мерой можно связать скалярные меры , . По определению . Легко видеть, что мера положительна для любого .
- разложение пространства на непересекающиеся подмножества, на которых функция постоянна и - значение функции на .
Интегралом от функции по спектральной мере называется оператор .
Свойства:
для любых . Этим свойством оператор определяется однозначно.
.
.
.
.
-.
- множество всех -измеримых, -ограниченных комплексных функций на .
Продолжим отображение с нормированной алгебры на всей банаховой алгебры .
Интегралом от функции по спектральной мере называется значение продолженного отображения на функции -, где - произвольная последовательность простых функций, сходящаяся к по норме в .
Теорема. Отображение есть изометрический изоморфизмбанаховой алгебры с единицей и инволюцией на некоторую коммутативную подалгебру алгебры с единицей и инволюцией.
Теорема. Пусть последовательность -ограниченных функций почти всюду сходится к функции . Если найдется такая константа , что почти всюду для любого , то .
Случай неограниченной функции
- пространство всех -измеримых, -п.в. конечных функций на .
Каждой функции и каждому сопоставим срезку, определенную как , где - характеристическая функция множества . Интегралом от по спектральной мере назовем оператор , определенный как предел последовательности . Более точно, областью определения оператора служит множество таких , что последовательность сходится, а значением - предел этой последовательности.
Имеется эквивалентное определение: в качестве области определения оператора положим множество . Для каждого найдется единственный удовлетворяющий равенству для всех , который по определению служит значением .
Теорема. Пусть - унитарный оператор в , тогда существует единственная спектральная мера в , определенная на борелевских подмножествах единичной окружности такая, что .
Спектральная теорема для самосопряжённого оператора
Теорема. Пусть - самосопряженный оператор в , тогда существует единственная спектральная мера в , определённая на борелевских подмножествах в такая, что .
Спектральная теорема для нормального оператора
Теорема. Пусть - нормальный оператор в , тогда существует единственная спектральная мера в , определенная на борелевских подмножествах в такая, что .
Применения к эволюционным уравнениям в гильбертовом пространстве
Уравнение Шредингера: с начальным условием , где - самосопряженный оператор. Решением будет , где , - спектральная мера оператора .
Параболическое уравнение: с начальным условием , где - самосопряженный положительный оператор. Решением будет , где , - спектральная мера оператора .
Литература
М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.
У. Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 443 с.