Теорема Картана — Дьёдонне

Теорема Картана — Дьёдонне — теорема, названная в честь французских математиков Эли Жозефа Картана и Жана Дьёдонне. Теорема касается структуры автоморфизмов пространства, снабжённого симметричной билинейной формой (например, евклидова пространства).

Формулировка теоремы

Пусть (V, b) — n-мерное векторное пространство (над полем, характеристика которого не равна 2) с невырожденной симметричной билинейной формой. Тогда каждый элемент ортогональной группы O(V, b) представляется в виде композиции не более чем n симметрий относительно гиперплоскостей.

Следствие теоремы

Если ${\displaystyle T}$ — ортогональное преобразование в ${\displaystyle R^{(3)}$ и ${\displaystyle |T|=1}$, то существует вектор ${\displaystyle \nu \neq 0}$ такой, что ${\displaystyle T_{\nu }=\nu }$.

Литература

• Gallier J.H. Geometric Methods and Applications: For Computer Science and Engineering. — University of Pennsylvania: Springer Science+Business Media, 2001. — Vol. 38. — 565 p. — (Texts in applied mathematics). — ISBN 0387950443.
• Gallot S., Hulin D., Lafontaine J. Riemannian Geometry. — Springer Science+Business Media, 2004. — 322 p. — (Universitext Series). — ISBN 3540204938.
• Garling D.J.H. Clifford Algebras: An Introduction. — Издательство Кембриджского университета, 2011. — Vol. 78. — 208 p. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 1107422191.
• Цит Юань Лам. Introduction to Quadratic Forms Over Fields. — Американское математическое общество, 2005. — Vol. 67. — 550 p. — (Graduate studies in mathematics). — ISBN 0821810952.