Теорема Коши о многогранниках
Теорема Коши о многогранниках утверждает, что грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.
Формулировка
Два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если существует непрерывная биекция между их поверхностями переводящая изометрией каждую грань первого многогранника в грань второго.
История
Вопрос о том, что грани многогранника вместе с правилами склейки полностью определяют выпуклый многогранник был сформулирован Лежандром в 1-м издании его учебника.[1] Там же была дана ключевая лемма о четырёх переменах знаков, которая использовалась Коши в его доказательстве.[2] Это доказательство содержало ошибку, которая была замечена и исправлена Штейницем в 1934 году[3].
Вариации и обобщения
- Аналогичный результат верен в пространствах всех размерностей начиная с 3.
- Для невыпуклых многогранников аналогичный результат неверен.
- Более того, существует невыпуклый многогранник, который допускает непрерывные деформации в классе многогранников с конгруэнтными гранями. Такой многогранник называется изгибаемым. Однако, согласно теореме Сабитова, объём такого многогранника в процессе деформаций будет оставаться неизменным.
- Согласно теореме Александрова о развёртке, условие конгруэнтности граней можно ослабить до условия изометричности внутренней метрики поверхности многогранника.
- Более того, то же верно для любой замкнутой выпуклой поверхности. Последнее доказано Алексеем Васильевичем Погореловым.[4][5] Другое доказательство было получено Юрием Александровичем Волковым.[6][7],
См. также
Примечания
- ↑ Legendre, A. M. "Éléments de géométrie". Paris, 1794. Note XII. P. 321–334.
- ↑ Cauchy A. L. Sur les polygones et polyèdres, Second mémoire // J. de l’École Polytechnique. 1813. V. 9. P. 87–98.
- ↑ Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934.
- ↑ А. В. Погорелов. Однозначная определённость общих выпуклых поверхностей. Монографии института математики, вып. II. 1952.
- ↑ Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. — М.: Наука, 1969. — 760 с.
- ↑ Ю. А. Волков. Оценка деформации выпуклой поверхности в зависимости от изменения ее внутренней метрики // Доклады Академии наук. — 1968. — Т. 178, № 6. — С. 1238–1240.
- ↑ Ю. А. Волков. Оценка деформации выпуклой поверхности в зависимости от изменения ее внутренней метрики // Украинский геометрический сборник. — 1968. — Т. 5-6. — С. 44—69.
Литература
- Н. П. Долбилин, Жемчужины теории многогранников. М.: МЦНМО, 2000. 40 с. ISBN 5-900916-48-0; Тираж 2000 экз. Серия Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 5.
- Лекция 24 в Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.
