Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.
Названа в честь Отто Никодима и Иоганна Радона.
Формулировка
Пусть
— пространство с мерой.
Предположим, что
—
-конечна.
Если мера
абсолютно непрерывна относительно
, то существует измеримая функция
, такая что
![{\displaystyle \nu (A)=\int \limits _{A}\!f(x)\,\mu (dx),\quad \forall A\in {\mathcal {F},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e714cefef63bf252a7e246c25e44d1b4766c2552)
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Другими словами, если вещественнозначная функция
обладает свойствами:[1]
определена на борелевской алгебре
.
аддитивна; то есть, для любого разложения
множества
на попарно непересекающиеся множества
выполняется равенство
![{\displaystyle \nu (A)=\sum _{n}\nu (A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f164b7e2b32ddc2e4e586f48ae42c759a6c8179e)
абсолютно непрерывна; то есть, из
вытекает
.
то она представима в виде
![{\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f(x)d\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c65cf34ce2a3b825aee32e7672cf060c4e2a53)
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Связанные понятия
- Функция
, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры
относительно меры
. Пишут:
![{\displaystyle f={\frac {d\nu }{d\mu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ddf3aaf16d86bb42407078b045a640fcfb61c2)
- Если
—
-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй,
— распределение некоторой случайной величины
, а
— мера Лебега на
, то производная Радона — Никодима меры
относительно меры
называется плотностью распределения случайной величины
.
Свойства
- Пусть
—
-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве
. Тогда если
и
, то
![{\displaystyle {\frac {d(\mu +\nu )}{d\lambda }={\frac {d\mu }{d\lambda }+{\frac {d\nu }{d\lambda }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a260e5bd835ede45435373116a27376bf09d436)
- Пусть
. Тогда
выполнено
-почти всюду.
- Пусть
и
— измеримая функция, интегрируемая относительно меры
, то
![{\displaystyle \int \limits _{X}\!g(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}\!g(x)\,{\frac {d\mu }{d\lambda }(x)\,\lambda (dx).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d46dc2b4e4e317063393fc00e5f6f46c02d92c)
- Пусть
и
. Тогда
![{\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }=\left({\frac {d\nu }{d\mu }\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ccfb76e4627686ec3038e88cab9ad62d690189)
- Пусть
— заряд. Тогда
![{\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3520eabc052c1a5e71d7e07329cfe77a4be9925f)
Применение
Теорема и соответствующая производная Радона-Никодима широко используется в стохастической финансовой математике в процедурах замены вероятностной меры для стохастических процессов динамики цен финансовых и других активов и процентных ставок. В частности, стандартным является переход от физической вероятностной меры к так называемой риск-нейтральной мере
Вариации и обобщения
Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.
Примечания
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Выпуск II. Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство. - М., МГУ, 1960. - c. 74-75