Теория потенциала

Теория потенциала — раздел математики и математической физики, посвящённый изучению свойств дифференциальных уравнений в частных производных в областях с достаточно гладкой границей посредством введения специальных видов интегралов, зависящих от определённых параметров, называемых потенциалами.

Абстрактная теория потенциала — обобщение теории потенциала на абстрактные топологические пространства^[1]; в качестве основного абстрактной теории используется понятие гармонического пространства — произвольного топологического пространства, снабжённого пучком непрерывных вещественных функций, обладающих (зафиксированными аксиоматически) свойствами, характерными для гармонических функций^[1].

Изначально возникла как часть небесной механики, изучающая свойства сил притяжения, действующих согласно закону всемирного тяготения. Основной вклад в создание и первоначальное развитие теории внесли Ньютон, Лагранж, Лежандр, Лаплас. В частности, Лагранж показал, что поле сил тяготения является потенциальным.

Начиная с Гаусса метод потенциалов начал применяться также для задач электростатики и магнетизма, в качестве потенциалов стали рассматриваться «массы» (заряды, намагниченность) произвольного знака. В рамках развития теории в XIX веке выделились основные краевые задачи: задача Дирихле, задача Неймана, задача Робена, задача о выметании масс, значительный вклад в изучение основных краевых задач в конце XIX века внесли Ляпунов и Стеклов.

Результаты теории существенно обобщены в начале XX века с использованием аппарата теории меры и обобщённых функций. Впоследствии в теории потенциалов задействованы аналитические, гармонические и субгармонические функции, инструментарий теорией вероятностей.

В 1950-е годы на основе методов топологии и функционального анализа разработана аксиоматическая абстрактная теория потенциалов.

На плоскости объёмным логарифмическим потенциалом (или потенциалом площади) называется интеграл вида

${\displaystyle V(M)=\int \limits _{D}\rho (Q)\ln {\frac {1}{R_{QM}d\sigma _{Q}$.

Если плотность ${\displaystyle \rho (M)}$ непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:

${\displaystyle {\Delta }V=-{2\pi \rho }$

В двумерном случае потенциалом простого слоя называется интеграл:

${\displaystyle V(M)=\int \limits _{C}\mu (P)\ln {\frac {1}{R_{MP}dl_{P}$,

где ${\displaystyle C}$ — некоторая кривая.

Потенциалом двойного слоя на плоскости называется интеграл:

${\displaystyle W(M)=-\int \limits _{C}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P}\ln {\frac {1}{R_{MP}dl_{P}$,

где ${\displaystyle \mathbf {n} _{P}$ — внешняя нормаль к кривой ${\displaystyle C}$ в точке ${\displaystyle P}$. В случае незамкнутой кривой направление внешней нормали выбирается произвольно.

Пусть в ограниченной области ${\displaystyle D}$ задана функция ${\displaystyle \rho (M)}$, интеграл

${\displaystyle V(M)=\int \limits _{D}{\frac {\rho (Q)}{R_{QM}dV}$

называется объёмным потенциалом.

Функция ${\displaystyle {\frac {1}{R_{QM}$ представляет собой, определённый во всех точках ${\displaystyle M\neq Q}$ потенциал единичного точечного заряда, сосредоточенного в точке ${\displaystyle Q}$. Если в области ${\displaystyle D}$ непрерывно распределён заряд с объёмной плотностью ${\displaystyle \rho (M)}$, то в силу принципа суперпозиции естественно предполагать, что потенциал, создаваемый данным распределением объёмного заряда, выражается вышеприведённым интегралом. Функция ${\displaystyle \rho (M)}$ называется плотностью потенциала.

Если плотность ${\displaystyle \rho (M)}$ непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:

${\displaystyle {\Delta }V=-{4\pi \rho }$

Потенциалом простого слоя в трёхмерном случае называется интеграл

${\displaystyle V(M)=\int \limits _{S}\mu (P){\frac {dS_{P}{R_{MP},}$

где ${\displaystyle S}$ — некоторая поверхность, ${\displaystyle \mu (P)}$ — функция, заданная на поверхности ${\displaystyle S}$, она называется плотностью потенциала простого слоя.

Свойства:

1. ${\displaystyle \Delta V(M)=0,\forall M\notin S.}$
2. ${\displaystyle V=O\left({\frac {1}{r}\right),r\rightarrow \infty .}$
3. ${\displaystyle V\in C(\mathbb {R} ^{3})}$, если ${\displaystyle S}$ — гладкая поверхность, плотность ${\displaystyle \mu (Q)}$ — ограничена и непрерывна.
4. Пусть ${\displaystyle S}$ — замкнутая поверхность Ляпунова, ограничивающая область ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle P_{0}\in S}$, ${\displaystyle \mathbf {n} _{e}(P)}$ — внешняя нормаль к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle P\in S}$. Тогда разрыв потенциала при переходе через поверхность ${\displaystyle S}$ определяется следующими формулами:

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}\right)(M)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}\right)(P_{0})+2\pi \mu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}\right)(M)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}\right)(P_{0})-2\pi \mu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}\right)(M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}\right)(M)=4\pi \mu (P_{0}).}$

Потенциалом двойного слоя в трёхмерном случае называется интеграл:

${\displaystyle W(M)=-\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P}{\frac {1}{R_{MP}dS_{P},}$

где ${\displaystyle S}$ — двусторонняя поверхность, ${\displaystyle \mathbf {n} _{P}$ — внешняя нормаль к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle P}$ (в том случае, когда поверхность ${\displaystyle S}$ незамкнута, внешняя нормаль выбирается произвольно), ${\displaystyle \nu (P)}$ — функция, заданная на поверхности ${\displaystyle S}$, она называется плотностью потенциала двойного слоя.

Выражение для потенциала двойного слоя также может быть переписано в виде:

${\displaystyle W(M)=\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\cos \varphi }{R_{MP}^{2}dS_{P},}$

где ${\displaystyle \varphi }$ — угол между внутренней нормалью к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle P}$ и вектором ${\displaystyle \mathbf {PM} }$.

Свойства:

1. ${\displaystyle \Delta W(M)=0,\forall M\notin S.}$
2. ${\displaystyle W=O\left({\frac {1}{r^{2}\right),r\rightarrow \infty .}$
3. Пусть ${\displaystyle S}$ — поверхность Ляпунова. Потенциал двойного слоя с непрерывной и ограниченной плотностью ${\displaystyle |\nu (P)|\leq C}$ на поверхности ${\displaystyle S}$ существует, то есть является сходящимся несобственным интегралом при ${\displaystyle M\in S}$.
4. Пусть ${\displaystyle S}$ — замкнутая поверхность Ляпунова, ограничивающая область ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle P_{0}\in S}$. Тогда разрыв потенциала двойного слоя при переходе через поверхность ${\displaystyle S}$ определяется следующими формулами:

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}W(M)=W(P_{0})+2\pi \nu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}W(M)=W(P_{0})-2\pi \nu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}W(M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}W(M)=4\pi \nu (P_{0}).}$

• И. М. Виноградов. Гармоническое пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
• Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Глава V. Уравнения эллиптического типа. Краевые задачи для уравнения Лапласа. // Лекции по математической физике. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 203. — 416 с. — ISBN 5-211-04899-7.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Глава IV. Уравнения эллиптического типа. // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 348. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.