Точная последовательность

Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов ${\displaystyle G_{i}$ с последовательностью гомоморфизмов ${\displaystyle \varphi _{i}\colon G_{i}\rightarrow G_{i+1}$, такая что для любого ${\displaystyle i}$ образ ${\displaystyle \varphi _{i-1}$ совпадает с ядром ${\displaystyle \varphi _{i}$ (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют). В большинстве приложений роль ${\displaystyle G_{i}$ играют коммутативные группы, иногда векторные пространства или алгебры над кольцами.

• Точные последовательности типа

  ${\displaystyle 0\longrightarrow A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }B{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }C\longrightarrow 0}$

называются короткими точными последовательностями, в этом случае ${\displaystyle \varphi }$ — мономорфизм, а ${\displaystyle \psi }$ — эпиморфизм.

• При этом, если у ${\displaystyle \varphi }$ есть правый обратный или у ${\displaystyle \psi }$ левый обратный морфизм, то ${\displaystyle B}$ можно отождествить с ${\displaystyle A\oplus C}$ таким образом, что ${\displaystyle \varphi }$ отождествляется с каноническим вложением ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle A\oplus C}$, а ${\displaystyle \psi }$ — с канонической проекцией ${\displaystyle A\oplus C}$ на ${\displaystyle C}$. В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.

• Длинная точная последовательность — это точная последовательность с бесконечным числом объектов и гомоморфизмов.
• Если ${\displaystyle \mathrm {Im} \,\varphi _{i}\subset \mathrm {Ker} \,\varphi _{i+1},}$ то последовательность называется полуточной.

• В теории гомотопических групп большое значение имеет точная последовательность пары, в частности, точная последовательность расслоения. Если ${\displaystyle F\to M\to B}$ — локально тривиальное расслоение над ${\displaystyle B}$ со слоем ${\displaystyle F}$, то следующая последовательность гомотопических групп точна^[1]:

${\displaystyle \ldots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(M)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \ldots \to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(M)\to \pi _{0}(B)}$

• Точная последовательность Майера — Вьеториса имеет большое значение для вычисления групп гомологий сложных пространств:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}$

• Цепной комплекс — это полуточная последовательность абелевых групп.
• Пусть ${\displaystyle E\to X}$ — локально тривиальное расслоение многообразий. Тогда с ним связана^[2] короткая точная последовательность расслоений

${\displaystyle 0\longrightarrow VX\longrightarrow TE\longrightarrow HX\longrightarrow 0}$

и двойственная к ней

${\displaystyle 0\longleftarrow V^{*}X\longleftarrow T^{*}E\longleftarrow H^{*}X\longleftarrow 0}$

Здесь ${\displaystyle TE}$ — касательное расслоение к многообразию ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle VX}$ и ${\displaystyle HX}$ — вертикальное и горизонтальное расслоения к ${\displaystyle X}$ соответственно. ${\displaystyle ^{*}$ обозначает двойственное расслоение (кокасательное и т. п.).

• Экспоненциальная точная последовательность

${\displaystyle 0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}_{M}\to {\mathcal {O}_{M}^{*}\to 0,}$

где ${\displaystyle {\mathcal {O}_{M}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}_{M}^{*}$ — пучок голоморфных функций на комплексном многообразии ${\displaystyle M}$ и его подпучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций