Трансцендентное число

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcens — переходить за предел, превосходить[1]) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю)[2]. Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.

Свойства

Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения теории множеств, трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: множество трансцендентных чисел континуально, а множество алгебраических счётно.

Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число  — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения (и потому является алгебраическим).

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.

  1. Если  — трансцендентное число, то и также трансцендентны.
  2. Если  — ненулевое алгебраическое число, а  — трансцендентное число, то трансцендентны.
  3. Если  — трансцендентное число, а  — натуральное число, то и трансцендентны.

Мера иррациональности почти всякого (в смысле меры Лебега) трансцендентного числа равна 2.

Примеры трансцендентных чисел

История

Впервые понятие трансцендентного числа (и сам этот термин) ввёл Леонард Эйлер в труде «De relation inter tres pluresve quantitates instituenda» (1775 год)[4]. Эйлер занимался этой темой ещё в 1740-е годы[5]; он заявил, что значение логарифма для рациональных чисел не является алгебраическим («радикальным», как тогда говорили)[6], за исключением случая, когда для некоторого рационального Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века.

Существование трансцендентных чисел доказал Жозеф Лиувилль в 1844 году, когда опубликовал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. Лиувилль построил конкретные примеры («числа Лиувилля»), ставшие первыми примерами трансцендентных чисел.

В 1873 году Шарль Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов. В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если ,  — алгебраическое число, и  — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что  — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число . Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Вариации и обобщения

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Существует аналог теории трансцендентных чисел для многочленов с целочисленными коэффициентами, определённых на поле p-адических чисел[2].

Некоторые открытые проблемы

См. также

Примечания

  1. Круглов А. Н. ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ. Новая философская энциклопедия. Дата обращения: 27 августа 2023. Архивировано 9 декабря 2022 года.
  2. 1 2 Математическая энциклопедия, 1985.
  3. Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
  4. Жуков А. Алгебраические и трансцендентные числа. Дата обращения: 9 августа 2017. Архивировано 13 июля 2018 года.
  5. Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 8. — 224 с.
  6. Euler, L. Introductio in analysin infinitorum (лат.). — Lausanne, 1748.
  7. Weisstein, Eric W. Число π (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  8. Weisstein, Eric W. Мера иррациональности (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература