Улитка Паскаля
Ули́тка Паска́ля (англ. limacon of Pascal, от лат. limax — улитка) ― конхоида окружности с полюсом на этой окружности[1][2][3][4][5][6][7].
Обычно представляется следующим уравнением конхоиды окружности в полярной системе координат[2][3][5][6][8]:
где — радиус базовой окружности конхоиды; — приращение радиус-вектора окружности, проведённого из полюса конхоиды на окружности.
Относится к плоским алгебраически кривым 4-го порядка[1][3][9].
Улитка Паскаля — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами[10]:
- ограниченная и замкнутая;
- связная только для кардиоиды и улитки с петлёй, остальные кривые имеют изолированную точку;
- имеет одну особую точку — двойную: точку самопересечения, касп или изолированную в зависимости от параметров;
- имеет одну ось симметрии.
Названа по имени французского учёного Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), рассмотревшего её в первой половине XVII века[1][2][4][9][8][11]. Улитка Паскаля изучалась Альбрехтом Дюрером в 1525 году под названием арахна (линия паука) (англ. Arachne; нем. Spinnenlinie[12]; фр. arachnée[11]), Этьеном Паскалем в 1630 году и Жилем Робервалем, который и назвал кривую «улиткой Паскаля» в 1650 году[7][13][11].
Определения улитки Паскаля
Самые распространённые определение и уравнение
Ули́тка Паска́ля (англ. limacon of Pascal; Pascal’s snail[8]; snail curve[11]) ― конхоида окружности с полюсом на этой окружности[1][2][3][4][5][6][7], обычно задаваемая следующим уравнением в полярной системе координат[2][3][5][6][8]:
где — радиус базовой окружности конхоиды; — приращение радиус-вектора окружности, проведённого из полюса конхоиды.
Базовая окружность улитки Паскаля называется также её директрисой[14].
Улитка Паскаля — это кривая, обладающая следующими основными свойствами[10]:
- ограниченная и замкнутая;
- связная только для кардиоиды и улитки с петлёй, остальные кривые имеют изолированную точку;
- имеет одну особую точку — двойную: точку самопересечения, касп или изолированную в зависимости от параметров;
- имеет одну ось симметрии.
Обычное уравнение улитки Паскаля в полярой системе координат
может быть записано по-другому:
- где — диаметр базовой окружности конхоиды;
- в размерно-безразмерной форме[7]:
- где — диаметр базовой окружности конхоиды; — безразмерный параметр;
- в безразмерной форме[15]:
- где — безразмерные параметры.
Все уравнения, рассмотренные выше, имеют горизонтальную ось симметрии (совпадающую с оью абсцисс) и как полюс коноиды, так и особые точки, расположенные слева. Но особые точки можно расположить на графике и справа, записав уравнение улитки Паскаля в следующей форме:
У всех уравнений, рассмотренные выше, ось симметрии совпадает с осью абсцисс. У следующих уравнений ось симметрии улитки Паскаля совпадает с осью ординат[11]:
- полюс коноиды и особые точки расположены вверху:
- полюс коноиды и особые точки расположены внизу:
Вывод уравнения и геометрическое построение
Детализируем определение улитки Паскаля, расшифровав понятие конхоиды:
- ули́тка Паска́ля — геометрическое место концов радиус-векторов, проведённых из фиксированной точки на окружности радиуса ко всем точкам окружности, причём эти радиус-векторы увеличены (одна ветвь) или уменьшены (другая ветвь) на постоянную величину [16].
Получим уравнение улитки Паскаля в полярной системе координат. Для этого (см. рисунок справа)[17]:
- поместим полюс конхоиды, расположенный на базовой окружности, в начало полярной системы координат;
- расположим диаметр базовой окружности на полярной оси справа от начала координат;
- положим, что (на рисунке справа ),
тогда получаем, что (см. рисунок справа):
- радиус-вектор из определения равен
- увеличенный на радиус-вектор из определения равен
и последнее уравнение есть уравнение одной ветви улитки Паскаля.
Очевидно, что уравнение другой ветви улитки Паскаля будет
Но поскольку обе ветви улитки Паскаля совпадают, как видно из рисунков ниже, то в качестве уравнения улитки Паскаля можно взять уравнение одной из ветвей, обычно берут первое:
Для первой ветви при повороте радиус-вектора от до конец увеличенного радиус-вектора описывает верхнюю половину большой дуги улитки Паскаля и нижнюю половину петли, если она есть. При дальнейшем повороте радиус-вектора получаются остальные части первой ветви улитки Паскаля. Даже если радиус-вектор первой ветви отрицательный, то его увеличение откладывается от его конца всё равно в положительном направлении. Картина аналогична для второй ветви, когда уменьшение радиус-вектора всегда откладывается в отрицательном направлении[3]. На рисунках ниже показаны три серии построения:
- обеих ветвей улитки Паскаля, имеющей петлю (трисектрисы), отдельно в четырёх квадрантах плоскости;
- улитки Паскаля, имеющей петлю (трисектрисы), для случая, когда её радиус-вектор всегда неотрицателен, то есть при
Если улитка Паскаля не имеет петли, то её первая ветвь всегда имеет неотрицательный радиус-вектор, а вторая ветвь — неположительный.
Виды улиток Паскаля
Примечательные точки улитки Паскаля
Существуют три вида улиток Паскаля: гиперболические, параболические (кардиоиды) и эллиптические[7]. Будем использовать уравнение улитки Паскаля
Две касательные прямые всех улиток Паскаля в особой точке — полюсе конхоиды, он же начало координат — имеют следующее уравнение[18]:
поэтому (см. рисунки справа):
- если то касательные действительные, и особая точка — точка самопересечения параболической улитки Паскаля;
- если то касательные совпадают с осью абсцисс, и особая точка — касп кардиоиды;
- если то касательные мнимые, и особая точка — изолированная эллиптической улитки Паскаля.
Вершины всех видов улиток Паскаля, если они есть, удовлетворяют следующему уравнению, то есть это необходимое условие быть вершиной (но не достаточное)[15]:
то есть совокупности уравнений
откуда вершины, если они есть, имеют координаты (см. рисунки справа)
и лежат на прямой и циссоиде Диокла (см. рисунок справа)
Точки перегиба гиперболических улиток Паскаля, если они есть, удовлетворяют следующему уравнению, то есть это необходимое условие быть точкой перегиба (но не достаточное)[15]:
откуда точки перегиба, если они есть, имеют координаты (см. рисунки справа)
и лежат на обобщённой грушевидной квартике[19] (см. рисунок справа)
или
или
Гиперболическая улитка Паскаля
Гиперболическая улитка (англ. hyperbolic limacon) — улитка Паскаля, у которой параметры отвечают следующему неравенству[7]:
Синоним:
Частные случаи[7]:
- улитка Паскаля вырождается в окружность радиуса при
- то есть уравнение окружности
- то есть её уравнение
Перечислим примечательные точки трисектрисы как типичного представителя улитки с петлёй (см. рисунок справа)[20]:
- трисектриса имеет точку самопересечения в начале координат
- радиальные координаты кандидатов в точки перегиба
- поэтому точек перегиба нет;
- из вершин попадают на кардиоиду и не попадают на точку самопересечения только две точки
- и
Параболическая улитка Паскаля
Параболическая улитка (англ. parabolic limacon) — улитка Паскаля, у которой параметры отвечают следующему равенству[7]:
то есть её уравнение
Синонимы:
Перечислим примечательные точки кардиоиды (см. рисунок справа)[20]:
- кардиоида имеет касп в начале координат
- радиальная координата кандидата в точки перегиба
- поэтому точек перегиба нет, точка — это касп;
- из вершин попадает на кардиоиду и не попадает на касп только точка
Эллиптическая улитка Паскаля
Эллиптическая улитка (англ. elliptic limacon) — улитка Паскаля, у которой параметры отвечают следующему неравенству[7]:
Синонимы:
- улитка с изолированной точкой (англ. limacon with an isolated point; acnodal limacon)[7];
- обычная улитка (англ. ordinary limaçon)[11].
Частные случаи[7]:
- улитка в форме фасолины (англ. limacon with the shape of a bean) при
- улитка с параболической точкой распрямления (англ. limacon with a meplat) при
- улитка Паскаля вырождается в окружность бесконечного радиуса при
Перечислим примечательные точки представителя улитки в форме фасолины с (см. рисунок ниже)[20]:
- улитка в форме фасолины имеет изолированную точку в начале координат
- из точек перегиба присутствуют все две точки
- из вершин попадают на улитку в форме фасолины все четыре точки
Перечислим примечательные точки представителя улитки с параболической точкой распрямления с (см. рисунок ниже)[20]:
- улитка с параболической точкой распрямления имеет изолированную точку в начале координат
- две точки перегиба сливаются в одну параболическую точку распрямления (слияние и исчезновение точек перегиба и вершин типично для кривых, при слиянии «качество» точки меняется в более «сильную» сторону)
- из вершин попадают на улитку с параболической точкой распрямления все четыре точки, но одна попадает на параболическую точку распрямления
Перечислим примечательные точки представителя выпуклой улитки с (см. рисунок ниже)[20]:
- выпуклая улитка имеет изолированную точку в начале координат
- радиальные координаты кандидатов в точки перегиба
- поэтому точек перегиба нет;
- из вершин попадают на выпуклую улитку все четыре точки
-
Улитка в форме фасолины с изолированной точкой, двумя точками перегиба и четырьмя вершинами
-
Улитка с параболической точкой распрямления с изолированной точкой, параболической точкой распрямления и тремя вершинами
-
Выпуклая улитка -с изолированной точкой и четырьмя вершинами
Уравнения
Уравнение в прямоугольных координатах:
параметрическое:
Здесь a — диаметр исходной окружности, а — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).
При этом начало координат является
- узловой точкой при ,
- точкой возврата при (в этом случае улитка Паскаля называется кардиоидой),
- двойной точкой при .
В случае улитка Паскаля также называется трисектри́са. Такое название она получила из-за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки. Уравнение трисектрисы:
в полярных координатах:
Свойства
- Улитка Паскаля является подерой окружности относительно любой точки, кроме центра окружности.
- Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
- Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
- Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
- Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
- Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:
- При площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.
Примечания
- ↑ 1 2 3 4 5 Соколов Д. Д. Паскаля улитка, 1984.
- ↑ 1 2 3 4 5 Линия, 1973, Улитка Паскаля, с. 469.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 2. Улитка Паскаля, с. 106.
- ↑ 1 2 3 Улитка Паскаля, 1955.
- ↑ 1 2 3 4 Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Улитка Паскаля, с. 213.
- ↑ 1 2 3 4 Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 5.1. Limacon of Pascal (Pascal, 1650), с. 113.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ferréol Robert. Limaçon (or snail) of Pascal, 2017.
- ↑ 1 2 3 4 Alfred Gray. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, 2006, 2.9 Exercises, с. 58.
- ↑ 1 2 3 Паскаля улитка, 1988.
- ↑ 1 2 Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Улитка Паскаля, с. 214.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 jan wassenaar limaçon, 2013.
- ↑ Albrecht Dürer Underweysung der Messung, 1525, с. 38.
- ↑ 1 2 Weisstein Eric W. Limaçon, 2024.
- ↑ Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, XI. Pedals and other derived curves. 3. Limacon, conchoid, с. 154.
- ↑ 1 2 3 Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, 1988, 2. Кривые и функции на них. 2.15. Упражнения. 5, с. 35.
- ↑ Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 1. Конхоида Никомеда, с. 100; § 2. Улитка Паскаля, с. 106.
- ↑ Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 1. Конхоида Никомеда, с. 100—101.
- ↑ Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 2. Улитка Паскаля, с. 106—107.
- ↑ Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Грушевидная квартика, с. 84.
- ↑ 1 2 3 4 5 Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, 1988, 2. Кривые и функции на них. 2.15. Упражнения. 5, с. 35—36.
Источники
- Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей: Пер. с англ. И. Г. Щербак под ред. В. И. Арнольда. М.: Мир, 1988. 262 с, ил. (Современная математика. Вводные курсы) ISBN 5-03-001194-3. [J. William Bruce, Peter G. Giblin. Curves and Singularities. A geometrical introduction to singularity theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1984.]
- Линия // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1973. Т. 14. Куна — Ломами. 1973. 624 с. с илл., 32 л. илл., 6 л. карт. С. 466—470.
- Паскаля улитка // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 452.
- Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
- Соколов Д. Д. Паскаля улитка // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 226—227.
- Улитка Паскаля // Энциклопедический словарь / Гл. ред. Б. А. Введенский, т. 3 Пращур—Яя. М.: «Большая Советская энциклопедия», 1955. 744 с., ил. С. 472—473.
- Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложенипем дискеты «Плоские кривые». М.: ФАЗИС, 1997. 334 с., ил. ISBN 5-7036-0027-8.
- Albrecht Dürer Underweysung der Messung, 1525.
- Ferréol Robert. Limaçon (or snail) of Pascal // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 12 января 2024 на Wayback Machine
- Alfred Gray. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. Third Edition by Elsa Abbena and Simon Salamon. Studies in Advanced Mathematics: Chapman and Hall/CRC, 2006. 982 p.
- Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
- jan wassenaar limaçon // mathematical curves Архивная копия от 23 июля 2023 на Wayback Machine
- Weisstein Eric W. Limaçon // Wolfram MathWorld Архивная копия от 6 ноября 2020 на Wayback Machine
- Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 10: 0486610780. ISBN 13: 9780486610788.