Функция Струве

Функция Струве — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}+z{\frac {df}{dz}+(z^{2}-\nu ^{2})f={\frac {4\left(z/2\right)^{\nu +1}{\sqrt {\pi }\cdot \Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}\right)}$

Интегральное выражение функции Струве:

${\displaystyle {\mathsf {H}_{\nu }(z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }{\frac {(z/2)^{\nu }{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}\right)}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}\sin(z\cdot \cos t)\cdot \sin ^{2\nu }tdt}$

Разложение в ряд:

${\displaystyle {\mathsf {H}_{\nu }(z)=\left({\frac {z}{2}\right)^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(z/2)^{2k}{\Gamma \left(k+{\frac {3}{2}\right)\cdot \Gamma \left(k+\nu +{\frac {3}{2}\right)}$

Модифицированная функция Струве:

${\displaystyle {\mathsf {L}_{\nu }(z)=-i\cdot e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}\cdot {\mathsf {H}_{\nu }(iz)}$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Struve Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.