Эргодичность

Эргодичность — специальное свойство некоторых динамических систем, состоящее в том, что в процессе эволюции почти каждое состояние с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы.

Эргодическая теория — один из разделов общей динамики.

Эргодические системы

Для эргодических систем математическое ожидание по временным рядам должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам. То есть для определения параметров системы можно долго наблюдать за поведением одного её элемента, а можно за очень короткое время рассмотреть все её элементы (или достаточно много элементов). Если система обладает свойством эргодичности, то в обоих случаях получатся одинаковые результаты.

Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. Например, температура газа — это мера средней энергии молекулы. Предварительно необходимо доказать эргодичность данной системы.

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,\;\Sigma ,\;\mu \,)}$ есть вероятностное пространство и ${\displaystyle T:X\to X}$ — отображение, сохраняющее меру.

Отображение T эргодично по отношению к ${\displaystyle \mu }$, если выполнено следующее условие:

для любого T-инвариантного подмножества ${\displaystyle E\in \Sigma }$ (то есть такого, что ${\displaystyle T^{-1}(E)=E}$) либо ${\displaystyle \mu (E)=0}$, либо ${\displaystyle \mu (E)=1}$.

Замечания

Определение эквивалентно следующим условиям,

• Для любого подмножества ${\displaystyle E\in \Sigma }$ положительной меры имеем

  ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}E\right)=1}$;

• Для любых двух множеств E и H положительной меры существует n > 0 такое, что *:${\displaystyle \mu ((T^{-n}E)\cap H)>0}$;
• Любая T-инвариантная измеримая функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ почти везде постоянна.

См. также

• Преобразование пекаря
• Теорема Биркгофа — Хинчина
• Динамический хаос
• Эргодическая гипотеза

Литература

• В. И. Арнольд, А. Авец. Эргодические проблемы классической механики. — Москва—Ижевск: РХД, 1999.
• И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. Эргодическая теория. — М.: Наука, 1980.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.
• Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики, М. — Л., 1943.
• Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М. — Л., 1949.
• Халмош П. Лекции по эргодической теории: пер. с англ. — М., 1959.
• G. D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 pp 656—660.
• J. von Neumann, Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 70-82.
• J. von Neumann, Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 263—266.

Ссылки

• Эргодическая теория // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.