Bernoulliho schéma

Bernoulliho schéma sa používa na výpočet pravdepodobnosti pri opakovanom pokuse.^[1] Urobíme sériu nezávislých náhodných pokusov, v ktorých nastáva sledovaný výsledok, náhodný jav ${\displaystyle A}$, s pravdepodobnosťou ${\displaystyle P(A)=p}$, ${\displaystyle 0<p<1}$. Pravdepodobnosť, ${\displaystyle P_{n}(k)}$ toho, že sa v sérii vyskytne náhodný jav ${\displaystyle A}$ práve k-krát, ${\displaystyle k=0,1,2,...,n}$ je rovná

${\displaystyle P_{n}(k)={\begin{pmatrix}n\\k\\\end{pmatrix}p^{k}(1-p)^{n-k}$ , ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$^[2]

Príklad č.1: Hádžeme hracou kockou 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že práve 4-krát padne číslo 6?

Keďže ide o sériu nezávislých javov (daný hod nezávisí od predchádzajúceho), môžeme použiť Bernoulliho schému. Pravdepodobnosť priaznivého javu je ${\displaystyle {\frac {1}{6}$ a pravdepodobnosť nepriaznivého javu je ${\displaystyle {\frac {5}{6}$. (Pretože môžu padnúť čísla 1,2,3,4 alebo 5.)

${\displaystyle P(A)={\begin{pmatrix}10\\4\\\end{pmatrix}({\frac {1}{6})^{4}({\frac {5}{6})^{6}=210\cdot {\frac {1}{6^{4}\cdot {\frac {5^{6}{6^{6}={\frac {210\cdot 5^{6}{6^{10}\doteq 0,05}$

Teda pravdepodobnosť, že z 10 hodov hracou kockou padne práve 4-krát číslo ${\displaystyle 6}$ je ${\displaystyle 5\%}$.

Príklad č.2: Hádžeme hracou kockou 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň 4-krát padne číslo ${\displaystyle 6}$? V tomto prípade sa pýtame, aká je pravdepodobnosť, že padne číslo ${\displaystyle 6}$ aspoň ${\displaystyle 4}$ krát, teda vlastne sa pýtame, aká je pravdepodobnosť, že číslo ${\displaystyle 6}$ padne 4-krát, alebo 5-krát, alebo 6-krát, alebo 7-krát, alebo 8-krát, alebo 9-krát, alebo 10-krát?

${\displaystyle P(A)={\begin{pmatrix}10\\4\\\end{pmatrix}({\frac {1}{6})^{4}({\frac {5}{6})^{6}+{\begin{pmatrix}10\\5\\\end{pmatrix}({\frac {1}{6})^{5}({\frac {5}{6})^{5}+{\begin{pmatrix}10\\6\\\end{pmatrix}({\frac {1}{6})^{6}({\frac {5}{6})^{4}+{\begin{pmatrix}10\\7\\\end{pmatrix}({\frac {1}{6})^{7}({\frac {5}{6})^{3}+{\begin{pmatrix}10\\8\\\end{pmatrix}({\frac {1}{6})^{8}({\frac {5}{6})^{2}+{\begin{pmatrix}10\\9\\\end{pmatrix}({\frac {1}{6})^{9}({\frac {5}{6})+{\begin{pmatrix}10\\10\\\end{pmatrix}({\frac {1}{6})^{10}\doteq 0,07}$

Pravdepodobnosť, že z 10 hodov hracou kockou padne aspoň 4-krát číslo ${\displaystyle 6}$ je ${\displaystyle 7\%}$.

Príklad č.3: Hádžeme hracou kockou 3-krát. Aká je pravdepodobnosť, že práve raz padne číslo ${\displaystyle 3}$?

${\displaystyle P(A)={\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}({\frac {1}{6})^{1}({\frac {5}{6})^{2}={\frac {25}{72}\doteq 0,347}$

Pravdepodobnosť, že z ${\displaystyle 3}$ hodov hracou kockou padne práve raz číslo ${\displaystyle 3}$ je ${\displaystyle 34,7\%}$.

Príklad č.4: Strelec trafí cieľ s pravdepodobnosťou ${\displaystyle 0,7}$ pričom vystrelil ${\displaystyle 10}$ krát. Aká je pravdepodobnosť, že trafil ciel práve 4-krát?

${\displaystyle P(A)={\begin{pmatrix}10\\4\\\end{pmatrix}(0,7)^{4}(0,3)^{6}=0,036}$

Pravdepodobnosť, že z ${\displaystyle 10}$ výstrelov trafí práve 4-krát cieľ je ${\displaystyle 3,6\%}$.

Príklad č.5: Na teste v autoškole je ${\displaystyle 30}$ otázok z ktorých v každej z nich sú na výber ${\displaystyle 3}$ odpovede, pričom správna je vždy len jedna. Uchádzač o vodičský preukaz uspeje, ak označí správne aspoň ${\displaystyle 27}$ otázok. Je takéto testovanie spoľahlivé ?

Aspoň ${\displaystyle 27}$ znamená ${\displaystyle 27}$ alebo ${\displaystyle 28}$ alebo ${\displaystyle 29}$ alebo ${\displaystyle 30}$.

${\displaystyle P(A)={\begin{pmatrix}30\\3\\\end{pmatrix}({\frac {2}{3})^{3}({\frac {1}{3})^{27}+{\begin{pmatrix}30\\2\\\end{pmatrix}({\frac {2}{3})^{2}({\frac {1}{3})^{28}+{\begin{pmatrix}30\\1\\\end{pmatrix}({\frac {2}{3})^{1}({\frac {1}{3})^{29}+{\begin{pmatrix}30\\0\\\end{pmatrix}({\frac {2}{3})^{0}({\frac {1}{3})^{30}\doteq 0}$

Ak by uchádzač prišiel na test nepripravený a náhodne by vyberal otázky, pravdepodobnosť, že si tipne aspoň ${\displaystyle 27}$ otázok správne je prakticky nulová, teda test je spoľahlivý.

• Problém náhrdelníka
• Problém šatniarky

Matematický portál