Extrém (funkcia)

Extrém je hodnota funkcie, ktorá má tú vlastnosť, že je buď najmenšia alebo najväčšia spomedzi všetkých funkčných hodnôt. Extrémy funkcie sa rozlišujú na lokálne a globálne.

Lokálne extrémy

Lokálne minimum

Lokálne minimum ${\displaystyle f(x_{0})}$ je najmenšia hodnota, ktorú funkcia ${\displaystyle f}$ nadobúda na nejakej podmnožine jej definičného oboru ${\displaystyle A\subset D(f)}$.

${\displaystyle \forall x\in A\subset D(f):f(x)\geq f(x_{0})}$

Lokálne maximum

Lokálne maximum ${\displaystyle f(x_{0})}$ je opak lokálneho minima, teda najväčšia hodnota, ktorú daná funkcia nadobúda na určitej podmnožine jej definičného oboru.

${\displaystyle \forall x\in A\subset D(f):f(x)\leq f(x_{0})}$

Globálne extrémy

Globálne minimum

Globálne minimum ${\displaystyle f(x_{0})}$ je najmenšia funkčná hodnota, spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

${\displaystyle \forall x\in D(f):f(x)\geq f(x_{0})}$

Globálne maximum

Globálne maximum ${\displaystyle f(x_{0})}$ je najväčšia funkčná hodnota, spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.

${\displaystyle \forall x\in D(f):f(x)\leq f(x_{0})}$

Hľadanie extrémov funkcie

Funkcia môže mať extrém v bode ${\displaystyle x_{0}$ vtedy, ak je v danom bode derivácia funkcie nulová. Teda platí

${\displaystyle f'(x_{0})=0}$

Ak ${\displaystyle f^{(2)}(x_{0})<0}$, potom ide o lokálne maximum.
Ak ${\displaystyle f^{(2)}(x_{0})>0}$, potom ide o lokálne minimum.
Ak ${\displaystyle f^{(2)}(x_{0})=0}$, potom ide o tzv. sedlový bod, teda sa tu lokálny extrém nenachádza.

Príklad 1

Pri hľadaní extrémov funkcie ${\displaystyle f(x)=x^{2}+4x+1}$ treba najprv funkciu zderivovať. Deriváciou vznikne funkcia ${\displaystyle f'(x)=2x+4}$. Extrém je v tom bode, v ktorom je derivácia danej funkcie nulová, a teda

${\displaystyle f'(x_{0})=0\Leftrightarrow x_{0}=-2}$

Druhou derivácia je kladná pre každé ${\displaystyle x}$ z definičného oboru, a preto má daná kvadratická funkcia v bode -2 minimum.

Príklad 2

Prípad, kedy je derivácia v bode nulová, ale nie je tam extrém je funkcia ${\displaystyle f(x)=x^{3}$, jej derivácia je ${\displaystyle f'(x)=3x^{2}$. Možný extrém je v bode 0, pretože ${\displaystyle f'(0)=0}$, ale funkcia je na celom intervale stúpajúca, takže sa v tom bode nemôže extrém nachádzať.

Externé odkazy

• Maximum a minimum funkcie