Lineárne zobrazenie (alebo tiež lineárny operátor) je abstraktný jav v algebre, ktorý možno chápať v istom zmysle ako funkciu. Lineárne zobrazenie priraďuje vektoru (vzoru) z vektorového priestoru, nový vektor (obraz) z iného resp. rovnakého vektorového priestoru. Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory
prípadne
.
Definícia
Nech
sú vektorové priestory nad telesom
. Zobrazenie
sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}({\textrm {i})&\varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )\\({\textrm {ii})&\varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )\end{array}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2633737310f06faa75a73ff7dccc1c7d8897d1e)
Príklad
Zobrazenie
nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)
![{\displaystyle \omega (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathbf {x} +\mathbf {y} +k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545316c3b325eb8c4788eb2bbd9042f0305491cb)
![{\displaystyle \omega (\mathbf {x} )+\omega (\mathbf {y} )=(\mathbf {x} +k)+(\mathbf {y} +k)=\mathbf {x} +\mathbf {y} +2k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a866bfc272ce47130a1db164e47e3c77f0234cc)
Tu ale neplatí
, pretože
. Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.
Matica lineárneho zobrazenia
Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak
je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať
![{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} ;\;\mathbf {A} =\Vert a_{ij}\Vert _{m,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ff1656b44e18e0c455d6997e461e7b3e657a46)
Vektor
je chápaný ako matica
. Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice
je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru)
. Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu
. Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti
![{\displaystyle \varphi (e_{k})=\mathbf {A} \cdot e_{k}=a_{k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e596f7a79f6dc278a6db671c182a6d1a591e95d)
kde vektor
je k-ty jednotkový vektor a
je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.
Príklad
Nájdime maticu
lineárneho zobrazenia
, ktoré ku každému vektoru
priradí jeho
-násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).
![{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5869ad1ddc7d885a2562c7ff5c16f0afe0f5df5)
![{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )=(\lambda \cdot \mathbf {x} )+(\lambda \cdot \mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba4b41b44d993fb9e4bb1ea01019a82a84a51d9)
Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom
![{\displaystyle \varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\lambda (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990407e6630eccbafa280f017a25196fc59a804b)
![{\displaystyle \alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )=\alpha (\lambda \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59eb18d8330e14c220406ba03fa4709c16e4a35)
Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory
ortonormálnej bázy priestoru
, keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj
-násobok, teda
![{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\;{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }\;\lambda \cdot \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=\left({\begin{array}{c}\lambda \\0\end{array}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ebff900801d1ee60090eefaec6037634d21377)
![{\displaystyle \mathbf {e} _{2}=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\;{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }\;\lambda \cdot \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\\lambda \end{array}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1362bac2c7cd55f35bfe3421168767764efabfb2)
Matica tohto lineárneho zobrazenia je
![{\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}\right)_{2\times 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331fa40ec778f0cf0699f0163c3d1db7ce51fe11)
Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru
dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia
je jeho
-násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom
Príklady matíc ďalších lineárnych zobrazení
Zobrazenie
|
Matica zobrazenia
|
-násobok vektora
|
|
rotácia roviny o uhol
|
|
osová súmernosť podľa osi x
|
|
osová súmernosť podľa osi y
|
|
kolmá projekcia na os x
|
|
Základná veta o lineárnych zobrazeniach
Nech
je ľubovolná báza vektorového priestoru
a nech
sú ľubovolné vektory priestoru
. Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie
pre ktoré platí:
,
, ... ,
Literatúra
- Chalmovianský. P: Geometria afinných zobrazení euklidovských priestorov. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2010, s. 2-5
- Zlatoš. P: Lineárna algebra a geometria. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2011, s. 122-134
|
---|
Základné pojmy | | |
---|
Matice |
- bloková matica
- regulárna matica
- rozklad matice
- subdeterminant
- transpozícia matice
- násobenie matíc
- inverzná matica
- hodnosť matice
- matica lineárneho zobrazenia
- Cramerovo pravidlo
- Gaussova eliminačná metóda
- Frobeniova veta
|
---|
Bilineárne zobrazenia | |
---|
Multilineárna algebra | |
---|
Numerická lineárna algebra | |
---|