Diagonalizabilna matrika

Diagonalizabilna matrika je matrika, ki je podobna diagonalni matriki. To pomeni, da mora obstajati takšna obrnljiva matrika ${\displaystyle P\,}$, da je matrika ${\displaystyle P^{-1}AP\,}$ diagonalna matrika.

Postopek pretvorbe matrike v diagonalno matriko imenujemo diagonalizacija.

Diagonalne matrike so zanimive zato, ker je delo z njimi zelo enostavno. Njihove lastne vrednosti in vektorji so znani in potenco matrike izračunamo tako, da potenciramo diagonalne elemente.

Matrika ${\displaystyle A\,}$ z razsežnostjo ${\displaystyle n\times n\,}$ je diagonalizabilna nad obsegom ${\displaystyle F\,}$, če in samo, če je vsota razsežnost lastnih prostorov enaka ${\displaystyle n\,}$.

Kadar je matrika ${\displaystyle A\,}$ diagonalizabilna, to pomeni, da velja

${\displaystyle P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}\,}$

V tem primeru je

${\displaystyle AP=P{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}\,}$

Če pišemo ${\displaystyle P\,}$ kot bločno matriko s vrstičnimi vektorji

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}{\vec {\alpha }_{1}&{\vec {\alpha }_{2}&\cdots &{\vec {\alpha }_{n}\end{pmatrix},}$,

potem lahko pišemo zgornjo enačbo kot

${\displaystyle A{\vec {\alpha }_{i}=\lambda _{i}{\vec {\alpha }_{i}\qquad (i=1,2,\cdots ,n)\,}$.

Iz tega vidimo, da so stolpični vektorji matrike ${\displaystyle P\,}$ lastni vektorji matrike ${\displaystyle A\,}$, pripadajoče diagonalne vrednosti pa so lastne vrednosti.

• seznam vrst matrik

• Diagonalizabilna matrika na MathWorld (angleško)
• Diagonalizabilna matrika Arhivirano 2011-03-10 na Wayback Machine. (angleško)