Logistična porazdelitev

Logistična porazdelitev
oznaka
parametri	${\displaystyle \mu \,}$ parameter lokacije (realno število) ${\displaystyle s>0\,}$ parameter merila (realno število)
interval	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}\!}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}\!}$
pričakovana vrednost	${\displaystyle \mu \,}$
mediana	${\displaystyle \mu \,}$
modus	${\displaystyle \mu \,}$
varianca	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}{3}s^{2}\!}$
simetrija	${\displaystyle 0\,}$
sploščenost	${\displaystyle 6/5\,}$
entropija	${\displaystyle \ln(s)+2\,}$
funkcija generiranja momentov (mgf)	${\displaystyle e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!}$ za ${\displaystyle |s\,t|<1\!}$
karakteristična funkcija	${\displaystyle e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)\,}$ za${\displaystyle |ist|<1\,}$

Logistična porazdelitevje družina zveznih verjetnostnih porazdelitev z dvema parametroma (lokacije in merila). Njena zbirna funkcija verjetnosti je logistična funkcija, po kateri je tudi dobila ime. Po obliki spominja na normalno porazdelitev, ima samo močnejše repe (večjo sploščenost)

Uporaba

Logistična porazdelitev se uporablja v

• biologiji za opisovanje rasti populacije vrst med tekmovanjem
• epidemiologiji za opis razširjanja epidemij
• tehnologiji

itd.

Lastnosti porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za logistično porazdelitev je

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}\!}$

${\displaystyle ={\frac {1}{4\,s}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}\right).}$.

kjer je

• ${\displaystyle sech(x)\!}$ hiperbolični sekans

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}\!}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}+{\frac {1}{2}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}\right).}$.

kjer je

• ${\displaystyle tanh(x)\!}$ hiperbolični tangens

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je

${\displaystyle \mu \,}$

Varianca

Varianca je

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}{3}s^{2}\!}$

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je za ${\displaystyle |s\,t|<1\!}$ enaka

${\displaystyle e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!}$

kjer je

• ${\displaystyle B(x,y)\!}$ funkcija beta.

Povezave z drugimi porazdelitvami

Kadar ima slučajna spremenljivka ${\displaystyle \log(X)\!}$ logistično porazdelitev, ima ${\displaystyle X\!}$ logaritemsko logistično porazdelitev in slučajna spremenljivka ${\displaystyle X-a\!}$ ima premaknjeno logaritemsko logistično porazdelitev.

Zunanje povezave

• Logistična porazdelitev na MathWorld (angleško)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev