Matrika preslikave

Matrika preslikave (tudi transformacijska matrika ali matrika prehoda) je matrika, ki predstavlja linearno transformacijo iz ${\displaystyle R^{n}\,}$ v ${\displaystyle R^{m}\,}$ tako, da velja

${\displaystyle T({\vec {x})=\mathbf {A} {\vec {x}$

kjer je

• ${\displaystyle A\,}$ transformacijska matrika z razsežnostjo ${\displaystyle m\times n\,}$
• ${\displaystyle {\vec {x}\,}$ stolpični vektor z ${\displaystyle n\,}$ elementi
• ${\displaystyle T\,}$ preslikava vektorja

Matrika pomeni prehod med dvema končno razsežnima vektorskima prostoroma. To je prehod iz baze z vektorji ${\displaystyle {\vec {a}_{1},\cdots ,{\vec {a}_{n}\,}$ v bazo ${\displaystyle {\vec {b}_{1},\cdots ,{\vec {b}_{n}\,}$ Včasih prikažejo transformacijsko matriko tudi z uporabo vrstičnega vektorja

Najbolj pogoste geometrijske preslikave obdržijo stalno izhodišče. Med te preslikave prištevamo vrtenje, povečevanje in zmanjševanje, striženje, zrcaljenje in pravokotno projekcijo.

Vrtenje za kot ${\displaystyle \theta \,}$ v smeri, ki je nasprotna gibanju urinih kazalcev (glede na izhodišče) zapišemo v matrični obliki kot

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v nasprotni smeri urinih kazalcev:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$

kjer je

• ${\displaystyle x'\,}$ koordinata x po vrtenju
• ${\displaystyle x\,}$ koordinata x pred vrtenjem
• ${\displaystyle \theta \,}$ kot za katerega zavrtimo

Podobno je pri vrtenju v smeri gibanja urinih kazalcev

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v smeri urinih kazalcev:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$

Povečevanje in zmanjševanje pomeni spremembo merila v katerem prikazujemo sliko. Če označimo z ${\displaystyle x'\,}$ in ${\displaystyle y'\,}$ nove koordinate, potem velja ${\displaystyle x'=s_{x}\cdot x}$ in ${\displaystyle y'=s_{y}\cdot y}$

Matrika transformacije je

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}s_{x}&0\\0&s_{y}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

Kadar velja tudi ${\displaystyle s_{x}s_{y}=1\,}$ predstavlja matrika stiskanje (pri tem se ohranja površina).

Nekateri povečevanje in zmanjševanje imenujejo tudi skaliranje ^[1].

Strig je podoben nagibanju slike. Možni sta dve obliki: Strig vzdolž osi-y tako, da so nove koordinate ${\displaystyle x'=x+ky\,}$ in ${\displaystyle y'=y\,}$. Pri tem je strižna matrika za stolpični vektor enaka

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

Druga oblika pa je striženje vzdolž osi-x. Pri tem so nove koordinate ${\displaystyle x'=x\,}$ in ${\displaystyle y'=y+kx\,}$. Matrika pa ima obliko

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

Če zrcalimo preko premice, ki teče preko izhodišča in ima smer vektorja ${\displaystyle {\vec {l}=(l_{x},l_{y})\,}$, potem zrcaljenje opisuje matrika

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}$

Če hočemo izvesti projekcijo vektorja na premico, ki teče skozi izhodišče, naj bo ${\displaystyle {\vec {u}=(u_{x},u_{y})\,}$, potem je transformacijska matrika

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert {\vec {u}\rVert ^{2}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}$

• seznam vrst matrik

• Transformacijska matrika na Mathworld (angleško)
• Transformacijska matrika (slovensko)
• Računalniška grafika Arhivirano 2016-03-04 na Wayback Machine. (slovensko)