Projektivna ravnina

Projektivna ravnina je ploskev, ki razširja pojem ravnine. To je ravnina z Eulerjevo karakteristiko enako 1. Je običajna ravnina, ki vsebuje tudi točko v neskončnosti, kjer se sekajo vzporedne premice. V običajni ravnini se vzporednice sekajo v neskončnosti. Projektivno ravnino si lahko predstavljamo kot, da bi zlepili diametralno nasprotne točke sfere tako, da bi medsebojno zamenjali dve točki, ki povezujeta odsek na sferi. Tega ne moremo narediti v trirazsežnem prostoru brez medsebojnega sekanja ploskve. Zaradi tega jo imenujemo tudi zvita sfera ^[1]. Projektivne ravnine ne moremo vložiti v trirazsežni evklidski prostor. Projektivna ravnina je neorientabilna ploskev.

Posebni obliki sta realna projektivna ravnina z oznako ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}$ (tudi ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )}$) in kompleksna projektivna ravnina, ki jo označujemo s ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{2}$.

Naj bo ${\displaystyle K}$ kolobar z deljenjem in naj ${\displaystyle K^{3}$ označuje množico vseh mogočih trojk ${\displaystyle x=(x_{0},x_{1},x_{2})}$ elementov iz ${\displaystyle K}$. Za vsak neničelen ${\displaystyle x\,}$ v ${\displaystyle K^{3}$ in premico v ${\displaystyle K^{3}$ skozi izhodišče in ${\displaystyle x\,}$ podmnožica

${\displaystyle \{kx+ly:k,l\in K\}$

spada v ${\displaystyle K^{3}$.

Projektivno ravnino nad ${\displaystyle K}$ označujemo s ${\displaystyle K\mathbb {P} ^{2}$. To je množica vseh premic v ${\displaystyle K^{3}$ skozi izhodišče. Podmnožica ${\displaystyle L}$, ki pripada ${\displaystyle K\mathbb {P} ^{2}$, je premica v ${\displaystyle K\mathbb {P} ^{2}$, če obstoja ravnina v ${\displaystyle K^{3}$, v kateri je množica premic natančno ${\displaystyle L}$.

• Realno projektivno ravnino ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}$ dobimo, če zavzame ${\displaystyle K}$ samo realne vrednosti. Kot zaprta neorientabilna realna 2-razsežna mnogoterost služi kot osnovni primer v topologiji.
• Kompleksno projektivno ravnino ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{2}$ dobimo, če zavzame ${\displaystyle K}$ kompleksne vrednosti. To je zaprta kompleksna neorientabilna dvorazsežna mnogoterost in torej tudi zaprta orientabilna realna štiri razsežna mnogoterost.
• Kvaternionska projektivna ravnina z oznako ${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {P} ^{2}$ je razširitev realnega projektivnega prostora in kompleksnega projektivnega prostora na področje kjer koordinate ležijo v kolobarju kvaternionov.
• Oktonioni ne tvorijo kolobarja z deljenjem zato zgornja definicija ni primerna. Običajno velja Cayleyjeva ravnina za projektivno ravnino nad oktonioni.

• incidenčna struktura
• projektivna geometrija

• Projektivna ravnina (angleško)
• Opis in lasnosti projektivne ravnine^{[mrtva povezava]} (angleško)
• Projektivni prostor Arhivirano 2011-08-05 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)