Sylvestrova matrika

Sylvestrova matrika je matrika, ki je povezana z dvema polinomoma.

Imenuje se po angleškem matematiku Jamesu Josephu Sylvestru (1814 – 1897).

Naj bosta ${\displaystyle p\,}$ in ${\displaystyle q\,}$ dva neničelna polinoma stopnje ${\displaystyle m\,}$ in ${\displaystyle n\,}$

${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}$.

Sylvestrovo matriko določata polinoma ${\displaystyle p\,}$ in ${\displaystyle q\,}$. Razsežnost te matrike je enaka ${\displaystyle (n+m)\times (n+m)\,}$ . Dobi pa se tako, da

• je prva vrstica matrike enaka :${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}.}$
• druga vrstica matrike je enaka prvi, vendar je premaknjena za en stolpec proti desni, prvi element pa je enak 0
• ostalih ${\displaystyle n-2\,}$ vrstic se dobi na enak način
• vrstica ${\displaystyle {n+1}\,}$ je enaka

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}.}$.

• naslednje vrstice se dobijo podobno

Če je ${\displaystyle m=4\,}$ in ${\displaystyle n=3\,}$ je Sylvestrova matrika enaka

${\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}.}$.

• Sylvestrova matrika na MathWorld (angleško)