Gjurma (algjebër lineare)

Në algjebrën lineare, gjurma e një matrice katrore A, e shënuar tr(A ), ^[1] përkufizohet të jetë shuma e elementeve në diagonalen kryesore (nga e majta lart në të djathtën e poshtme) të A . Gjurma përcaktohet vetëm për një matricë katrore ${\displaystyle (n\times n)}$.

Mund të vërtetohet se gjurma e një matrice është shuma e eigenvlerave të saj (komplekse) (të numëruara me shumëfishitet). Gjithashtu mund të vërtetohet se ${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$ për çdo dy matrica A dhe B me madhësi të përshtatshme. Kjo nënkupton që matricat e ngjashme kanë të njëjtën gjurmë. Si pasojë, mund të përcaktohet gjurma e një operatori linear që harton një hapësirë vektoriale me dimensione të fundme në vetvete, pasi të gjitha matricat që përshkruajnë një operator të tillë në lidhje me një bazë janë të ngjashme.

Përkufizimi

Gjurma e një matrice katrore ${\displaystyle A}$ me madhësi ${\displaystyle n\times n}$ përcaktohet si ^{[1] [2] :34}$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$$ku ${\displaystyle a_{ii}$ tregon hyrjen në rreshtin e ${\displaystyle i{\text{-të }$ dhe kolonën e ${\displaystyle i{\text{-të}$. Elementet e A mund të jenë numra realë, numra kompleksë ose më në përgjithësi elemente të një fushe ${\displaystyle F}$. Gjurma nuk është përcaktuar për matricat jo katrore.

Shembull

Le të jetë ${\displaystyle {\boldsymbol {A}$ një matricë, me$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}$$Atëherë$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1}$$

Vetitë

Vetitë themelore

Gjurma është një hartë lineare . Kjo do të thotë, ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}$$për të gjitha matricat katrore A dhe B, dhe të gjithë skalarët c . ^{[2] :34}

Një matricë dhe e transpozuara e saj kanë të njëjtën gjurmë: ^{[1] [2] :34}$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}\right).}$$

Gjurma e një produkti

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.}$$$${\displaystyle 0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}\ ,}$$

Gjurma si shuma e vlerave vetjake

Duke pasur parasysh çdo matricë reale ose komplekse A me madhësi ${\displaystyle n\times n}$ , ekziston

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$

ku${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ janë eigenvlerat e A të numëruara me shumësi. Kjo është e vërtetë edhe nëse A është një matricë reale dhe disa (ose të gjitha) eigenvlerat janë numra kompleksë. Kjo mund të konsiderohet si pasojë e ekzistencës së formës kanonike Jordan, së bashku me ngjashmëri-pandryshueshmërinë e gjurmës së diskutuar më sipër.

Lidhja me eigenvlerat

Nëse A është një operator linear i përfaqësuar nga një matricë katrore me hyrje reale ose komplekse dhe nëse ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ janë vlerat vetjake të A (të renditura sipas shumëfishimeve të tyre algjebrike ), atëherë

Kjo rrjedh nga fakti se A është gjithmonë i ngjashëm me formën e tij Jordan, një matricë trekëndore e sipërme që ka${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ në diagonalen kryesore. Në të kundërt, përcaktori i A është produkt i eigenvlerave të tij; kjo eshte,$${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.}$$