Елиптични координатни систем

Елиптични координатни систем је дводимензионални координатни систем, у ком су координатне линије представљене елипсама и хиперболама. Фокуси елипси су фиксирани на ${\displaystyle -a}$ и ${\displaystyle +a}$ на оси ${\displaystyle x}$.

Основна дефиниција

Елиптичне координате ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ обично се дефинишу као:

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }$

${\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$

где је ${\displaystyle \mu }$ ненегативан реалан број, а ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ].}$ На тај начин следећим тригонометријским идентитеом одређује се фамилија елипси константнога ${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle {\frac {x^{2}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }+{\frac {y^{2}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

С друге стране другом једначином одређује се фамилија хипербола константнога ${\displaystyle \nu }$:

${\displaystyle {\frac {x^{2}{a^{2}\cos ^{2}\nu }-{\frac {y^{2}{a^{2}\sin ^{2}\nu }=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

Ламеови коефицијенти

У ортогоналном координатном систему дужине вектора базе познате су као фактори скалирања или као Ламеови коефицијенти, који су за елиптичне координате:

${\displaystyle H_{\mu }=H_{\nu }=a{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }.}$

а након сређивања као:

${\displaystyle H_{\mu }=H_{\nu }=a{\sqrt {\frac {1}{2}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }).}$

Елеменат површине дат је са:

${\displaystyle dS=a^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu ,}$

а Лапласијан:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}\right).}$

Алтернативна дефиниција

Понекад се користи и алтернативна дефиниција елиптичних координата ${\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}$:

${\displaystyle \sigma =\mathrm {ch} \,\mu ,}$

${\displaystyle \tau =\cos \nu .}$

Координате ${\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}$ имају једноставан однос са удаљеностима ${\displaystyle d_{1},d_{2}$ од фокуса ${\displaystyle F_{1}$ и ${\displaystyle F_{2}$.

${\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma ,}$

${\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau ,}$

На тај начин добија се и:

${\displaystyle d_{1}=a(\sigma +\tau );}$

${\displaystyle d_{2}=a(\sigma -\tau ).}$

Тај координатни систем има недостатак да координате (x,y) и (x,-y) имају исти ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$, па конверзија није једнозначна:

${\displaystyle x=a\sigma \tau ;}$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2}).}$

Ламеови коефицијенти алтернативне верзије

Ламеови коефицијенти алтернативних елиптичних координата ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ су:

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}{\sigma ^{2}-1}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}{1-\tau ^{2}.}$

Елеменат површине дат је са:

${\displaystyle dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}d\sigma d\tau }$

а Лапласијан је:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}{\frac {\partial }{\partial \sigma }\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}{\frac {\partial }{\partial \tau }\left({\sqrt {1-\tau ^{2}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }\right)\right].}$

Литература

• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.

Види још

• Правоугли координатни систем
• Сферни координатни систем
• Параболички координатни систем